交换算符

交换算符的定义如下：

${\displaystyle {\hat {P_{12}}}|a,b\rangle =|b,a\rangle }$

其中，${\displaystyle {\hat {P}}_{12}}$即为交换算符。其作用为，将系统中两个粒子所处的态交换。在上面的例子中，态${\displaystyle |a,b\rangle }$变换成为${\displaystyle |b,a\rangle }$。显然，对同一个系统做两次交换可以得到原系统。假设交换算符的本征值为${\displaystyle \alpha }$,则

${\displaystyle {{\hat {P}}_{12}}^{2}|a,b\rangle ={\hat {P}}_{12}\alpha |b,a\rangle =\alpha {\hat {P}}_{12}|b,a\rangle =\alpha ^{2}|a,b\rangle }$

所以，${\displaystyle \alpha =\pm 1}$。由此得到交换算符是自伴算子且是幺正算符。

• 全同粒子