伽罗瓦理论基本定理

中间域与伽罗瓦群的子群之间有一个反向的包含对应关系：如果伽罗瓦群的某个子群H₁是另一个子群H₂的子群，那么H₁对应的中间域L^H₁是H₂对应的中间域L^H₂的扩域[3]^:51。

伽罗瓦群的子群的元素个数，以及它在伽罗瓦群中的指数，和对应的中间域相关的扩域的次数相同。如果H是Gal(L/K)的子群，那么|H| = [L : L^H]，[Gal(L/K) : H] = [L^H : K][3]^:51。

给定伽罗瓦扩张L/K的中间域F和L中的K-自同构σ，则σ作用在F上得到的像集${\displaystyle \sigma (F):=\{\sigma (x);\;x\in F\}}$也是一个中间域。设F对应的伽罗瓦群子群是H，则中间域σ(F)对应的子群是σHσ^-1。如果F/K是正规扩张[N 2]，则对于任意的K-自同构σ，σ(F) = F。这也说明对于任意的K-自同构σ，σHσ^-1 = H。这样的子群H称为正规子群。域扩张F/K是正规扩张当且仅当其对应的子群H = Gal(L/F)是正规子群。对于正规子群H，可以定义Gal(L/K)对H的商群G = Gal(L/K)/H。这个商群和Gal(F/K)是同构的[3]^:51-52。

子群与子域的关联结构图

从有理数域${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$出发。设扩域${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$。L是在有理数域中添加根号2与根号3得到的扩域，也可以看成是${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})({\sqrt {3}})}$，即先在有理数域中添加根号2，再在其中添加根号3得到的扩域。因此其中每个元素可以表达成如下的形式：

${\displaystyle (a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}},\;a,b,c,d\in \mathbb {Q} .}$

可以证明域扩张L/K是可分正规扩张，即伽罗瓦扩张。它的K-自同构群G = Gal(L/K)为L中所有对有理数为恒等映射的同构。设有K-自同构σ，则σ将任何有理数映射到它自身，将根号2映射到自身或负根号2上，将根号3映射到自身或负根号3上。这是因为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sigma ({\sqrt {2}})\right)^{2}=\sigma ({\sqrt {2}})\cdot \sigma ({\sqrt {2}})=\sigma ({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})=\sigma (2)=2,\\\left(\sigma ({\sqrt {3}})\right)^{2}=\sigma ({\sqrt {3}})\cdot \sigma ({\sqrt {3}})=\sigma ({\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}})=\sigma (3)=3.\end{aligned}}}$

这说明自同构群G中包含四个元素：e、σ、τ、τσ。具体为：

${\displaystyle {\begin{array}{ll}e({\sqrt {2}})={\sqrt {2}},\;e({\sqrt {3}})={\sqrt {3}},\;&\sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}},\;\sigma ({\sqrt {3}})={\sqrt {3}}\\\tau ({\sqrt {2}})={\sqrt {2}},\;\tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}},\;&(\tau \sigma )({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}},\;(\tau \sigma )({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}\end{array}}}$

G = {e, σ, τ, τσ} 同构于克莱因四元群，它的子群包括 H_e = {e}, H_σ = {e, σ}, H_τ = {e, τ}, H_τσ = {e, τσ} 以及G自身。考虑在这些子群的作用下，保持不变的元素构成的集合：

• L中所有的元素都在e下不变，所以L^H_e = L，
• σ将根号2变换到负根号2，而保持根号3不变，所以${\displaystyle L^{H_{\sigma }}=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$，
• τ将根号3变换到负根号3，而保持根号2不变，所以${\displaystyle L^{H_{\tau }}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$，
• τσ将根号2与根号3分别变换到负根号2与负根号3，因此只有根号6经历了两次变换而保持原号，所以${\displaystyle L^{H_{\tau \sigma }}=\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})}$，
• 由于根号2和根号6在σ作用下变号，根号3在τ作用下变号，所以只有有理数能够在所有的自同构下保持不变，即${\displaystyle L^{G}=\mathbb {Q} =K}$。

以上的结论说明域扩张L/K真正的中间域有3个，分别是：${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$、${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$和${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}})}$。[3]^:53-54

子群与子域的关联结构图

以下给出一个伽罗瓦群不是交换群（阿贝尔群）的例子。设有多项式P = X³ - 2，这是一个在${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$上不可约的有理系数多项式。他在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上对应的分裂域是${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$，其中的θ = ³√2是2的三次方根，ω = e^2iπ⁄₃是三次单位根。域扩张L/K是可分正规扩张，因此是伽罗瓦扩张。考虑其伽罗瓦群G = Gal(L/K)。与上一个例子类似地，它里面的K-自同构必然也是只可能是对θ和ω产生变换。设有K-自同构σ，则它将θ和ω变换后的结果满足：

${\displaystyle {\begin{array}{ll}2=\sigma (2)=\sigma (\theta ^{3})=\left(\sigma (\theta )\right)^{3},\\1=\sigma (1)=\sigma (\omega ^{3})=\left(\sigma (\omega )\right)^{3}.\end{array}}}$

所以σ作用在θ上的结果有三种：θ、ωθ或ω²θ，而σ作用在ω上的结果有两种：ω或ω²。这是因为σ(ω)的结果不可能是1，否则会与σ(1) = 1矛盾。这表明G中元素有六个，可以表示为：G = {e, f, f², g, gf, gf²}. 其中：

${\displaystyle f(\theta )=\omega \theta ,\;f(\omega )=\omega ,\quad g(\theta )=\theta ,\;g(\omega )=\omega ^{2}.\quad fg=gf^{2}.}$

下面给出由伽罗瓦理论基本定理指出的子群与中间域的对应关系：

• 与上例一样，在平凡子群 {e} 作用下不变的是L中所有元素，在群G所有元素作用下不变的只有K中元素。所以平凡子群对应着L而G对应着K。
• G仅有一个三元子群H_f = {e, f, f²} ，在其作用下不变的是ω，因此它对应的是中间域${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$。${\displaystyle [\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} ]=2}$，等于H_f在G中的指数。H_f是G的正规子群，所以${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )/\mathbb {Q} }$是正规扩张[N 3]。
• G有三个二元子群，分别是H_g = {e, g}, H_gf = {e, gf}, H_fg = {e, gf²}. 它们对应的中间域分别是${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$、${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega \theta )}$和${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ^{2}\theta )}$。这些中间域都是有理数域的三次扩域，与对应子群在G中的指数相等。由于这三个二元子群都不是G的正规子群，所以相应的，这些中间域也不是有理数域的正规扩张。事实上，它们各自是在有理数域中添加多项式P的一个根得到的扩域，但另外两个根都不在其中。[3]^:52-53