单群

循环群G = Z/3Z，即模3的同余类在加法运算下形成的群是单群。这是因为，若H是这个群的一个子群，则它的阶一定是群G的阶3的约数，因为3是素数，所以H只能是G或者平凡群。另一方面，群G=Z/12Z就不是单群。因为任意阿贝尔群的子群一定是正规子群，且12为合数，故很容易找到它的一个非平凡正规子群。例如，由模12余0，4，8的同余类组成的子群就是它的一个阶为3的正规子群。类似地，整数集 Z 与加法运算组成的群也不是单群，由偶数集2Z和加法组成的群是它的一个非平凡正规子群[1]。

按照上面的方法可以证明，阿贝尔单群只有素数阶循环群。最小的非阿贝尔单群是交错群 ${\displaystyle A_{5}}$ ，它的阶是60，而且可以证明每一个阶为60的单群都与 ${\displaystyle A_{5}}$ 同构[2]。第二小的非阿贝尔单群是射影特殊线性群${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$ ，它的阶是168。可以证明，阶为168的单群都与 ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$ 同构[3][4]。

${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)}$是有限域上的典型群的一个例子，它也是一个有限阶李群。除了素数阶循环群、交错群和有限阶李群（包括典型群和例外或缠绕李群）之外的有限单群统称为散在群，详见有限单群分类。

无限阶交错群，即由整数的所有偶置换组成的群${\displaystyle A_{\infty }}$是单群。另一个无限阶单群的例子是域${\displaystyle F}$上的射影特殊线性群${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(F)}$，其中 ${\displaystyle n\geq 3}$。

相比之下，要构造有限生成的无限阶单群就困难得多，最早的例子由格雷厄姆·希格曼提出，它是希格曼群的子群[5]。 其它的例子包括湯普森群 T 和 V。有限表现无挠(torsion-free)的无限单群被伯格-莫泽什(Burger-Mozes)构建。[6]

有限单群是很重要的，因为在一定意义上，它们是所有有限群的“基本组成部分”，有点类似于质数是整数的基本组成部分。