群作用

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一個元素，且群${\displaystyle \mathrm {G} }$在${\displaystyle \mathrm {X} }$上有著一個作用，那麼${\displaystyle x}$的軌道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$就是指以下列方式定義的${\displaystyle \mathrm {X} }$的子集：

${\displaystyle \mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}}$

${\displaystyle \mathrm {X} }$的兩個軌道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$和${\displaystyle \mathrm {G} _{y}}$有一個共通元素${\displaystyle a}$，那麼就可以找到兩個${\displaystyle \mathrm {G} }$中的元素${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$，使得${\displaystyle a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$、${\displaystyle a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$，同時有${\displaystyle x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$，反之亦可推出${\displaystyle y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$，而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集，假若${\displaystyle \mathrm {H} }$是${\displaystyle \mathrm {G} }$的一個子集，且定義${\displaystyle \mathrm {G} }$中元素的慣常運算規則為${\displaystyle \mathrm {H} }$在${\displaystyle \mathrm {G} }$上的一個作用，那麼${\displaystyle \mathrm {H} }$的陪集${\displaystyle \mathrm {aH} }$(${\displaystyle a\in \mathrm {G} }$)就是${\displaystyle a}$的軌道。

若S是X的一個子集，群G作用在X上( X 被稱作G-set)，對於群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有著 ${\displaystyle g\cdot x\in S}$，

則我們會說 S在G的作用下是封閉的，或是說，S在G作用下是不變的

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一個元素，對於群${\displaystyle \mathrm {G} }$中的所有元素${\displaystyle g}$而言，都有${\displaystyle g\cdot x=x}$，那麼就稱${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {G} }$-不變的（${\displaystyle \mathrm {G} }$-invariant）。

另外若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一個元素，則所有使得${\displaystyle g\cdot x=x}$的${\displaystyle \mathrm {G} }$中的元素${\displaystyle g}$構成的集合又稱${\displaystyle \mathrm {G} }$對於${\displaystyle x}$的穩定子群（stabilizer subgroup of ${\displaystyle \mathrm {G} }$ with respect to ${\displaystyle x}$），一般常常將之記作${\displaystyle \mathrm {Gx} }$(注意：不要將之與上面軌道的符號混淆)。

${\displaystyle \mathrm {Gx} }$是${\displaystyle \mathrm {G} }$的一個子群，因為根據定義${\displaystyle e\cdot x=x\in \mathrm {Gx} }$，因此${\displaystyle \mathrm {G} }$的單位元${\displaystyle e}$屬於${\displaystyle \mathrm {Gx} }$，且假若${\displaystyle m\in \mathrm {Gx} }$，那麼${\displaystyle m}$的逆元${\displaystyle m^{-1}}$也是${\displaystyle \mathrm {Gx} }$的元素，因為${\displaystyle x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x}$。

考慮一個映射${\displaystyle f:G\cdot x\longrightarrow G/G_{x}}$ 可以證明此映射是一個雙射的函數，而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理 ${\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]}$

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理，${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|}$