准范畴

准范畴C 是满足内Kan条件（也称“弱Kan条件”）的单纯集合：对C中每个内角（inner horn），即单纯集的映射${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]\to C}$，其中${\displaystyle 0<k<n}$有一个填充物，即映射${\displaystyle \Delta [n]\to C}$的扩展。

我们的想法是，2-简化${\displaystyle \Delta [2]\to C}$应是代表交换三角形（至少在同伦情况下）。映射${\displaystyle \Lambda ^{1}[2]\to C}$代表一个可组合的对。因此，在准范畴中，态射间实际上无法定义复合律，因为有很多方式可以复合映射。

该定义的一个结果是${\displaystyle C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}}$，是一个平凡的Kan纤维化。换句话说，虽然复合无法唯一定义，但在可缩的选择下是唯一的。

给定准范畴C，可以关联一个普通范畴hC，称为C的同伦范畴。同伦范畴的对象是C的顶点，态射由顶点间的同伦类给出。由n=2的角填充条件，可以得出复合。

对于一个一般的简单集，有从sSet到Cat的函子${\displaystyle \tau _{1}}$，称作基本范畴函子；对于准范畴C，基本范畴与同伦类相同，即${\displaystyle \tau _{1}(C)=hC}$。

• 范畴的神经集是任何内角的填充均唯一的准范畴。反过来说，如果一个准范畴的任何内角都有唯一的填充，那么它必与某类范畴的神经集同构。C的神经集的同伦范畴与C同构。
• 给定拓扑空间X，可以定义其简单集S(X)，也称为X的基本∞-广群。S(X)是一个准范畴，其中每个态射都可逆。S(X)的同伦范畴是X的基本广群。
• 比上述例子更一般，每个Kan复合体都是准范畴。Kan复合体中来自所有角的所有映射都可填充，即Kan复合体中所有态射都可逆。因此Kan复合体是广群的类似物——如果范畴是广群，那么范畴的神经集就是Kan复合体。

• (∞, 1)-范畴是∞-范畴，但不一定是准范畴。其中n-态射（n>1）都等价。有西格尔范畴、简单增广范畴、拓扑范畴、完全西格尔空间等几类。准范畴也是(∞, 1)-范畴。

• 模型结构 sSet-范畴上有模型范畴，提出了(∞,1)-范畴(∞,1)Cat。

• 同伦Kan扩展 同伦Kan扩展的概念，特别是同伦极限和同伦并极限的概念，在增广Kan复合体范畴中有直接的表述。

• 所有(∞,1)-拓扑斯理论都可以用sSet-范畴模型化（ToënVezzosi）。有sSet-site C的概念来模拟(∞,1)-site。

• 模型范畴
• 稳定∞-范畴
• ∞-广群
• 高阶范畴
• 球集

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• Joyal's Catlab entry: The theory of quasi-categories （页面存档备份，存于）
• nLab的quasi-category條目
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