凸多面體

定義1

如果多面體滿足以下條件，則該多面體是凸多面體：

對這個多面體所有的面而言，其中一個面，滿足「這個多面體完全包含在這個面對應的平面所構成的其中一個半空間中」的條件。[7]

定義2

對於每個具有s個面的凸多面體，都有s行、三列的矩陣M和s維向量b：

${\displaystyle \mathbf {M} \in {\mathcal {M}}_{s\times 3}(\mathbb {R} ),\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{s}}$

多面體可以定義為下列線性不等式組的解集：[2]

${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {r} \leq \mathbf {b} ,\qquad \mathrm {i.e.} \sum _{j}M_{ij}r_{j}\leq b_{i}}$

其中${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$為多面體內部的點。每個方程式都要求這些點要位於面對應的平面的正確一側。當矩陣${\displaystyle \mathbf {M} }$和向量${\displaystyle \mathbf {b} }$的元素是任意實數時，${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {r} \leq \mathbf {b} }$形式系統的解${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$不一定會是多面體。因此，要成為多面體，${\displaystyle \mathbf {M} }$和${\displaystyle \mathbf {b} }$都必須滿足某些條件。

舉例來說，正四面體、立方體和正八面體的M矩陣和b向量可能為[2]（具體值會依邊長而變）：

凸多面體	s	M矩陣	b向量
正四面體	4	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&-1\\-1&1&-1\\-1&-1&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}$
立方體	6	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\-1&0&0\\0&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}}$
正八面體	8	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&1\\1&-1&-1\\-1&1&1\\-1&1&-1\\-1&-1&1\\-1&-1&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}}$

對於頂點數有限的凸多面體，歐拉特性必須與球體的歐拉特性一致，因此其頂點數（V）、邊數（E）和面數（F）必定會滿足下列等式：[9]

${\displaystyle F+V-E=2\,}$

非凸多面體則不一定滿足上述等式，尤其是存在自相交情況的多面體。

凸多面體還具有下列特性：

• 凸多面體不存在邊或面自我相交的情況。
• 每個内角、二面角皆小於180度。
• 凸多面體的任何两个顶点间的线段位于這個多面體的内部或表面上。
  • 在凸多面體內部或表面上的任何两个點间的线段也同樣都會位於多面體的内部或表面上。
  • 凸多面體內部的任兩個點間的線段必定位於多面體內部（非凸多面體則不一定）
• 多面體完全包含在任意面對應的平面所限定的封閉半空間中。
• 對所有面而言，任何內部的點都在由該面鎖定之平面的同一側。
• 凸多面體的凸胞就是本身。

• 凸多胞形
• 凸多邊形

维基共享资源上的相关多媒体资源：凸多面體

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.