半單模

以下陳述彼此等價：

• ${\displaystyle M}$ 是單模的和。
• ${\displaystyle M}$ 是其單子模的和。
• 對每個子模 ${\displaystyle N\subset M}$，存在子模 ${\displaystyle N'\subset M}$ 使得 ${\displaystyle M=N\oplus N'}$。

• 若 ${\displaystyle M}$ 是半單模，則其子模與商模亦然。
• 若 ${\displaystyle M_{i}}$ 是半單模，則 ${\displaystyle \bigoplus _{i}M_{i}}$ 亦然。

藉由環的乘法運算，每個環 ${\displaystyle A}$ 都可視為左（或右） ${\displaystyle A}$-模。若 ${\displaystyle A}$ 是半單 ${\displaystyle A}$-模，則稱 ${\displaystyle A}$ 為半單環。可以證明：環 ${\displaystyle A}$ 是半單左模若且唯若它是半單右模。半單環必然兼為諾特環與阿廷環。

半單環的角色之一，在於半單環 ${\displaystyle A}$ 上的模都是半單模，而且任何單左模都可嵌入 ${\displaystyle A}$ 中，成為其極小左理想。這遂大大便利了對 ${\displaystyle A}$-模結構的研究。

對於非交換環，單環未必是半單環，儘管術語上引人如此聯想。

• 若 ${\displaystyle k}$ 為域、${\displaystyle G}$ 為 ${\displaystyle n}$ 階有限群，則群代數 ${\displaystyle k[G]}$ 半單的充要條件是 ${\displaystyle k}$ 的特徵不整除 ${\displaystyle n}$。此結果是有限群表示理論的基石。
• Artin-Wedderburn 定理給出了半單環的結構：一個環 ${\displaystyle A}$ 半單若且唯若它同構於 ${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times \cdots M_{n_{r}}(D_{r})}$，其中每個 ${\displaystyle D_{i}}$ 皆為除環、${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$ 表示 ${\displaystyle D_{i}}$ 上的 ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ 矩陣代數。
• 設 ${\displaystyle V}$ 為域 ${\displaystyle k}$ 上之有限維向量空間，${\displaystyle A\in \mathrm {End} (V)}$。則 ${\displaystyle V}$ 是多項式環 ${\displaystyle k[X]}$ 上的左模，結構由 ${\displaystyle f(X)\cdot v:=f(A)v}$ 給出。此時 ${\displaystyle V}$ 半單的充要條件是 ${\displaystyle A}$ 在代數閉包 ${\displaystyle {\bar {k}}}$ 上可對角化。

• N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
• T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.