半直积

令G为群，N为G的一个正规子群，并且H是G的一个子群。下列命题等价:

• G = NH 且 N ∩ H = {e} (其中e是G的幺元)
• G的每个元素可以写作唯一的H的一个元素和N的一个元素的积
• 自然的嵌入H → G, 和自然的投影G → G/N的复合，给出一个在H 和G/N之间的同构
• 存在同态G → H，它的像是H本身而其核是N

如果这些命题中的一个(从而所有)成立，则称G是一个N和H的内半直积，或者说G在N上“分裂(splits)”，并写作G = N ⋊ H。

若G是正规子群N和子群H的内半直积，而且N和H都是有限的，则G的阶等于N和H的阶的积。

和直积的情况不同，内半直积通常不是唯一的；如果G和G' 是两个群，都包含N为正规子群，并且都包含H为子群，而且二者都是N和H的内半直积，则未必 G和G' 是同构的。

给定任意两个群N和H（不必是某个群的子群）和一个群同态φ : H → Aut(N)(其中Aut(N)表示N的所有自同构组成的群)，我们定义如下的一个新群N ⋊_φ H，称作N和H相对于φ的外半直积:

基础的集合是集合直积 N × H，而群運算*给定为

(n₁, h₁) * (n₂, h₂) = (n₁ φ(h₁)(n₂), h₁ h₂)

对于所有N中的n₁, n₂ 和H中的h₁, h₂。这确实定义了一个群；其幺元为(e_N, e_H)，而元素(n, h)的逆为(φ(h^–1)(n^–1), h^–1)。

N × {e_H}是同构于N的正规子群, {e_N} × H是同构于H的子群，而N ⋊_φ H是这两个子群的内半直积。

若G是一个N和H的内半直积，令映射φ : H→Aut(N)为如下同态

φ(h)(n)=hnh^–1

则G同构于外半直积N ⋊_φ H，该同构把乘积nh映到2元组(n,h)。在G中,我们有如下规则

(n₁h₁)(n₂h₂) = n₁(h₁n₂h₁^–1)(h₁h₂)

而这是上述外半直积的定义的深层原因，也是一个记住它的方便办法。

群的分裂引理（splitting lemma）的一个版本称群G同构于两个群N和H的外半直积当且仅当存在短正合序列

${\displaystyle 0\longrightarrow N\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!u}\ \,G\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!v}\ \,H\longrightarrow 0}$

和一个群同态r : H → G 使得v o r = id_H, H上的恒等映射。在这种情况, 给出φ : H → Aut(N)如下

φ(h)(n) = u^–1(r(h)u(n)r(h^–1)).