环 (代数)

${\displaystyle R}$ 為集合， ${\displaystyle +:R\times R\to R}$ 和 ${\displaystyle \cdot :R\times R\to R}$ 為定義於其上的二元運算（一種二變數函數）。以下依照二元運算的慣例，將運算結果 ${\textstyle +(a,\,b)}$ 和 ${\textstyle \cdot (a,\,b)}$ 分別簡記為 ${\displaystyle a+b}$ 和 ${\textstyle a\cdot b}$ 。

${\displaystyle (R\,,+\,,\,\cdot \,)}$ 被稱為環，若它滿足：

1. ${\displaystyle (R\,,+)}$為交換群 ，即：
   • 結合律：對所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$ 有 ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
   • 單位元：存在 ${\displaystyle i\in R}$ ，對所有的 ${\displaystyle r\in R}$ 有 ${\displaystyle i+r=r+i=r}$ （可由上面的性質證明這樣的 ${\displaystyle i}$ 是唯一的， 這樣的 ${\displaystyle i}$ 稱為加法單位元）
   • 反元素：對所有的 ${\displaystyle r\in R}$ 存在 ${\displaystyle r^{\prime }\in R}$ 使 ${\displaystyle r+r^{\prime }=r^{\prime }+r=0}$ （可以由上面的性質證明這樣的 ${\displaystyle r^{\prime }}$ 是唯一的，通常簡記為 ${\displaystyle r^{-1}}$ 並稱為 ${\displaystyle r}$ 的加法反元素)
   • 交換律：對所有的 ${\displaystyle a,\,b\in R}$ 有 ${\displaystyle a+b=b+a}$
2. ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$為半群，即：
   • 結合律：對所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$ 有 ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
3. 乘法對于加法满足分配律，即對所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$ 有：
   • ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$
   • ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)}$

其中 ${\displaystyle +}$ 常會被暱稱為加法；類似的 ${\displaystyle \cdot }$ 會被暱稱為乘法，因為取 ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ （實數系）， ${\displaystyle +}$ 為普通的實數加法且 ${\displaystyle \cdot }$ 為普通的實數乘法的話，${\displaystyle (R\,,+\,,\,\cdot \,)}$顯然為環。而此時加法單位元顯然為實數 ${\displaystyle 0}$ ，所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元 ${\displaystyle i}$ 簡寫為 ${\displaystyle 0}$ 。

所以慣例上仿造實數乘法把 ${\displaystyle a\cdot b}$ 簡寫為 ${\displaystyle ab}$ ；而且因為實數乘法優先於實數加法，所以也會規定 ${\displaystyle a+bc}$ 是 ${\displaystyle a+(b\cdot c)}$ 的簡寫。此外還會仿造實數減法，會把 ${\displaystyle a+b^{-1}}$ 簡寫為 ${\displaystyle a-b}$ 。

${\displaystyle (R\,,+\,,\,\cdot \,)}$ 為環，則對所有 ${\displaystyle a,\,b\in R}$ 有：

I. ${\displaystyle a0=0a=0}$

證明：

1. ${\displaystyle 0=0+0}$（單位元）
2. ${\displaystyle a0=a(0+0)}$（式1等號兩邊於左側同乘 ${\displaystyle a}$）
3. ${\displaystyle a(0+0)=a0+a0}$（分配律）
4. ${\displaystyle a0+a0=a0}$（式2, 式3）
5. ${\displaystyle a0+a0+{(a0)}^{-1}=a0+{(a0)}^{-1}}$（式4等號兩邊於右側加 ${\displaystyle {(a0)}^{-1}}$）
6. ${\displaystyle a0=0}$（以反元素化簡式5）

可調換 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle 0}$ 的順序， 仿上證明 ${\displaystyle 0a=0}$ 。 ${\displaystyle \Box }$

II. ${\displaystyle a^{-1}b=ab^{-1}=(ab)^{-1}}$

證明：

1. ${\displaystyle a^{-1}b+ab=ab+a^{-1}b=(a+a^{-1})b=0b}$ （加法交換律、分配律、加法逆元素）
2. ${\displaystyle 0b=0=a^{-1}b+ab}$ （上面的性質I）

故 ${\displaystyle a^{-1}b}$ 的確是 ${\displaystyle ab}$ 的加法反元素，仿上可證明 ${\displaystyle ab^{-1}}$ 也是 ${\displaystyle ab}$ 的加法反元素。 ${\displaystyle \Box }$

• 集环：非空集的集合${\displaystyle R}$构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
  • ${\displaystyle R}$对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
  • ${\displaystyle R}$对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
  • ${\displaystyle R}$对集合的交，差以及无交并运算封闭。

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。

• 整数环是一个典型的交换且含单位环。
• 有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
• 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
• n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

考虑环${\displaystyle (R\,,+\,,\,\cdot \,)}$，依环的定义知${\displaystyle (R\,,+)}$是阿贝尔群。集合${\displaystyle I\subseteq R}$，考虑以下条件：

1. ${\displaystyle (I\,,+)}$构成${\displaystyle (R\,,+)}$的子群。
2. ${\displaystyle \forall i\in I\,,r\in R}$，有${\displaystyle i\cdot r\in I}$。
3. ${\displaystyle \forall i\in I\,,r\in R}$，有${\displaystyle r\cdot i\in I}$。

若${\displaystyle I}$满足条件1、2则称${\displaystyle I}$是${\displaystyle R}$的右理想；若${\displaystyle I}$满足条件1、3则称${\displaystyle I}$是${\displaystyle R}$的左理想；若${\displaystyle I}$满足条件1、2、3，即${\displaystyle I}$既是${\displaystyle R}$的右理想，也是${\displaystyle R}$的左理想，则称${\displaystyle I}$为${\displaystyle R}$的双边理想，简称理想。

• 零因子 （zero divisor）：
  条目：零因子

设${\displaystyle b}$是环中的非零元素，如果${\displaystyle a\cdot b=0}$，称${\displaystyle a}$为左零因子；类似地可以定义右零因子。左零因子和右零因子通称零因子。