解析容度

在复分析中，复平面的紧子集K的解析容度（analytic capacity）是一个标志了 $\mathbb {C} \setminus K$ 上的有界解析函数可以有“多大”的数。粗略地说，解析容度 $\gamma (K)$ 测量了 $\mathbb {C} \setminus K$ 上的有界解析函数所组成的空间的单位球的大小。

这个概念最早由阿尔福斯在1940年代研究有界解析函数的奇点的可去性时引入。

定义

紧集 $K\subset \mathbb {C}$ 的解析容度定义为

$\gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|:f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K),\|f\|_{\infty }\leq 1,f(\infty )=0\}$

其中， ${\mathcal {H}}^{\infty }(U)$ 表示有界解析函数 $f:U\to \mathbb {C}$ 组成的集合。此外，

$f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{z(f(z)-f(\infty ))}$

$f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{f(z)}$

注意如果令 $g(z)=f(1/z)$ ，则有 $f'(\infty )=g'(0)$ 。但是，一般来说 $f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }{f'(z)}$ 。

对任意集合 $A\subset \mathbb {C}$ ，定义

$\gamma (A)=\sup _{K\subset A}{\gamma (K)}$

其中K取遍所有包含于A的紧集。

可去集与潘勒韦问题

设K是紧集，若对任意包含K的开集 $\Omega$ ，集合 $\Omega \setminus K$ 上的有界全纯函数都可以解析延拓到整个 $\Omega$ 上，则称K是可去集。根据黎曼可去奇点定理，单点集都是可去的。这启发保罗·潘勒韦于1880年提出了一个更一般的问题：“ $\mathbb {C}$ 的哪些子集是可去的？”

容易看出，K是可去的当且仅当 $\gamma (K)=0$ 。然而，解析容度是纯复分析的概念，要得到更多的几何特性描述还有许多工作要做。

阿尔福斯函数

对紧集 $K\subset \mathbb {C}$ ，存在唯一的极值函数，即 $f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K)$ 使得 $\|f\|\leq 1,f(\infty )=0,f'(\infty )=\gamma (K)$ 。这个函数称为K的阿尔福斯函数。

解析容度与豪斯多夫维数

用 $\dim _{H}$ 表示豪斯多夫维数， ${\mathcal {H}}^{1}$ 表示1维豪斯多夫测度。则 ${\mathcal {H}}^{1}(K)=0$ 蕴含 $\gamma (K)=0$ ，而 $\dim _{H}(K)>1$ 保证了 $\gamma (K)>0$ 。然而， $\dim _{H}(K)=1$

与 ${\mathcal {H}}^{1}(K)>0$ 的情况要复杂得多。

长度大于0而解析容度等于0的例子

之前给出了紧集的1维豪斯多夫测度与解析容度的部分对应关系，据此可以猜想 $\gamma (K)=0$ 蕴含 ${\mathcal {H}}^{1}(K)=0$ 。然而，这个猜想是错的。A. G. Vitushkin首先给出了反例，J. Garnett又给出了简单得多的例子。后者给出的构造如下：

设 $K_{0}:=[0,1]\times [0,1]$ 是单位正方形。然后 $K_{1}$ 是4个边长1/4的正方形的并，这4个小正方形分别位于 $K_{0}$ 的四个角。以此类推， $K_{n}$ 是 $4^{n}$ 个边长为 $4^{-n}$ 的正方形（记做 $Q_{n}^{j}$ ）的并，每个 $Q_{n}^{j}$ 位于某个 $Q_{n-1}^{k}$ 的一角。令K是所有 $K_{n}$ 的交，则 ${\mathcal {H}}^{1}(K)={\sqrt {2}}$ ，但是 $\gamma (K)=0$ 。

Vitushkin猜想

设 $K\subset \mathbb {C}$ 是紧集，Vitushkin猜想叙述为

$\gamma (K)\iff \int _{0}^{\pi }{{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }{K})d\theta }=0$

其中 $\operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta$ 表示在方向 $\theta$ 上的正交投影。根据上面的结果，当 $\dim _{H}(K)\neq 1$ 时，Vitushkin猜想为真。

Guy David于1998年证明了Vitushkin猜想在 $\dim _{H}(K)=1$ 且 ${\mathcal {H}}^{1}(K)<\infty$ 的情况。2002年，Xavier Tolsa证明了解析容度是半可数可加的（countably semiadditive）。即，存在常数 $C>0$ 使得对紧集 $K=\bigcup _{i=1}^{\infty }{K_{i}}$ （其中 $K_{i}$ 是博雷尔集）， $\gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }{\gamma (K_{i})}$

David与Tolsa的定理合起来能推导出，当K关于 ${\mathcal {H}}^{1}$ 是σ有限的时，Vitushkin猜想为真。可是，对于不是 ${\mathcal {H}}^{1}$ σ有限的1维的K，这个猜想仍然有待解决。

参考资料

Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.