扎里斯基拓扑

首先定义仿射空间 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$（即 k 上的 n 維向量空間）上的拓撲。這個拓扑是通過指定其閉集，而非指定其開集來定義的。其所有閉集就是

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}}$

其中 S 是 k 上任意的若干個 n 元多項式的集合。 可以驗證：

• V(S) = V((S)), 其中 (S) 是由 S 的元素生成的理想；
• 對任意兩個由多項式組成的理想 I, J, 有
  1. ${\displaystyle V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);}$
  2. ${\displaystyle V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).}$

因此，形如 V(S) 的集合，其有限並和任意交亦將具有此种形式，從而以該些集合為閉集，可以定義一個拓撲結構。（這等價於，它們的補集就是該拓撲的所有開集。記 V(S) 的補集為 D(S)，称为主开集）此謂之 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 上的扎里斯基拓撲。

若 X 是一个仿射代數集（不論可約與否），則可將 X 視為某 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 的子空間，並定義 X 上的扎里斯基拓撲為 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 的扎里斯基拓撲的子空间拓扑。等價地，可以驗證：

• 坐標环

${\displaystyle A(X)\,=\,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)}$

的元素作用在 X 上，正如 ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ 的元素作用在 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n};}$

• 对任何的多项式集 S, 設 T 為其在 A(X) 的像，則 X 的子集

${\displaystyle V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\forall f\in T\}}$

等於 X 與 V(S) 的交。

這就說明可以在任意仿射簇上定義一個扎里斯基拓撲。

在 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$ 中，視任兩個相差 k 中的標量倍的點為等同，這樣得到的等價類的集合稱為 n 維射影空間 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}.}$ 多項式環 ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ 中的元素不都是 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ 上的函數，因為即使是同一點，也能以不同的坐標表示，而代入一個多項式時便會得到不同的值；但是卻可以確定一個齊次多項式在某點是否為零，因為如果一點能以兩組坐標表示，則一組為另一組的標量倍，而該標量可以在齊次多項式各項中提取出來。所以若 S 為若干個齊次多項式的集合，則可定義

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.}$

上一節的幾個結論，把「理想」一詞換成本節的「齊次理想」之後，將繼續適用。於是，對任意的齊次多項式集 S, 以 V(S) 為閉集，可以定義 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}.}$ 同樣以 D(S) 表示 V(S) 的補集，但當可能引起誤會時，改為用 D′(S).

要定義射影代數集上的射影扎里斯基拓撲，正如定義仿射代數集上的仿射扎里斯基拓撲，將之定義為相應的射影空間的子空間拓撲即可。又或者，這個拓撲是射影坐標環內蘊的：根據仿射簇一節的等式，可以僅用坐標環的子集定義出一個射影代數集上的扎里斯基拓撲。

此種拓撲都具有一組基，該組基由對應每個多項式（對於射影簇，則為齊次多項式）f 的 D(f) 組成。要證明这些形式的元素組成一組基，可以考慮 (S) 的各生成元所生成的主理想，並反覆運用兩個閉集的交的公式。这些 D(f) 称为 特異 (英語：) 開集或 基 (英語：) 开集。

由希尔伯特基定理和諾特環的基本性質，每個仿射或射影坐標環都是諾特環。於是，具有扎里斯基拓撲的仿射或射影空間都是諾特拓撲空間，故其中每一個閉集都是緊的。

然而，除了有限代數集，並無代數集是豪斯多夫空间。某些舊文獻要求緊空間必須是豪斯多夫的，而代數幾何通常沿用這個定義。於是，現今較常見的「緊」的意思，在代數幾何學表達為「擬緊」(英語：) 。不過因為每個點 (a₁, ..., a_n) 都是多項式 x₁ - a₁, ..., x_n - a_n 的零點集的唯一元素，單點集是閉集，所以每個簇都滿足T₁ 公理。

簇之間的正則映射相對其上的扎里斯基拓撲是连续的。而且，假如要求單點集均為閉集，又要保持正則映射的連續性，則扎里斯基拓撲是最弱（最少開集）而仍滿足要求的拓撲。原因是，扎里斯基拓撲的閉集就是若干個多項式函數對 {0} 的原像的交，而多項式函數可視為映到${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ 的正則函數。

ℤ的譜

• Spec k, 域 k 的譜，是只有一個元素的拓撲空間。
• Spec ℤ, 整数環的譜，其內對應每個素数 p 有一個閉點，因為 ℤ 有極大理想 (p) ⊂ ℤ，還有一個不是閉的泛點（即閉包為整個空間的點）對應零理想 (0). 所以 Spec ℤ 中的閉集有且只有整個空間，以及有限個閉點組成的集合。
• Spec k[t], 域 k 上多项式环的譜。該環是一個主理想整环，而不可约多项式為其中的質元素。若 k 是一個代數閉域，例如複數域，則一個非常數的多項式不可約當且僅當其為一次多項式，形如 t − a, 其中 a 是 k 的某個元素。所以，譜中對應 k 的每個元素 a 有一個閉點，還有一個泛點對應零理想。可以證明閉點組成的集合與具備扎里斯基拓撲的仿射直線 k 同胚。因此，一些作者也稱 Spec k[t] 為仿射直線。 若 k 不是代數閉域，例如實數域，k[t] 中就有不可約也非一次的多項式，這使情況變得複雜。ℝ[t] 的譜有閉點 (x − a), 其中 a 為 ℝ 的任意元素，也有閉點 (x² + px + q), 其中 p, q 為 ℝ 的元素，且須滿足判别式 p² − 4q < 0，最後還有泛點 (0). 對任何域，Spec k[t] 中的閉集有且只有整個空間，以及有限個閉點組成的集合。（本段僅證明了結論對代數閉域成立。一般情況的證明需要用到交換代數的一個結果：k[t] 的克鲁尔维数為 1。也參見克魯爾主理想定理）

新的扎里斯里拓撲跟古典的最大分別在於，新拓撲中的點無須為閉點。格羅滕迪克引入了泛點，以擴展此定義。泛點即有最大閉包的點，其對應包含零理想的最小素理想。而閉點則對應 A 的極大理想。不過注意，譜和射影譜也是 T₀ 空間，因為給定任意兩點 P, Q, 其對應 A 中的兩個互異的素理想，故必一個不包含另一個，假設 P 不包含 Q, 則 D (Q) 包含 P，但不包含 Q.

正如在古典代數幾何所見，任何譜或射影譜都是（擬）緊的，且若該環為諾特環，則其譜是諾特空間。但是，這與一般直覺有所抵觸。平常若一個開集是緊的，則其為空間的某個連通分支，而對仿射空間（例如歐幾里得空間）來說，整個空間並非緊的。可見扎里斯基拓撲在幾何上有其不當之處。格羅滕迪克引入了正常性的概念，用來描述概形和概形間的態射，使得緊的概念回復直觀。其中 Proj 是正常的，但 Spec 不是。