多項式

某个未知数${\displaystyle X_{s}}$在多项式各项中最大的次数称为多项式中未知数${\displaystyle X_{s}}$的次数，拥有这样次数的${\displaystyle X_{s}}$的项被称为${\displaystyle X_{s}}$的最高次项。所有项的次数中最高的称为多项式的次数。对于一元多项式来说，唯一的未知数的次数也称为多项式的次数，未知数的最高次项也称为多项式的最高次项。

例如多項式：${\displaystyle \ XY^{3}+2X+5-0.3c}$中${\displaystyle \ XY^{3}}$的次數最高，是${\displaystyle 4}$，故此多項式的次數為四。因而此多項式可稱為三元四次四項式。${\displaystyle \ XY^{3}}$稱為四次項，${\displaystyle \ 2X}$、${\displaystyle -0.3c}$稱為一次項或線性項，而${\displaystyle 5}$是零次項或常數項。

多項式${\displaystyle P}$的次數記作${\displaystyle \deg(P)}$。约定零多项式没有次数，也没有未知数。常數多項式分為零次多項式（非零常数）和零多項式。一次多項式又稱為線性多項式。多項式中的一次項又稱為線性項。如果某个多项式的所有项都有相同次数，则称其为齐次多项式。

一个一元多项式被称为首一多项式，如果它的最高次项的系数是${\displaystyle R}$的单位元。

选定一个未知数后，多项式可依各项中该未知数的次数以降序或升序排列。次数从低到高是升幂排列。次数从高到低是降幂排列。例如

${\displaystyle \ 2X^{5}Y^{2}+7X^{3}Y^{4}+8X^{1}Y^{6}}$

是依X的次数降幂排列。

两个多项式相加可以看作是对两组单项式的和进行重组与合并同类项。通过加法结合律，可以将同类项放在一起，合并之后就得到了两个多项式的和[1][2]。例如以下的两个多项式：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\color {BrickRed}P}&={\color {BrickRed}3X^{2}-2X+5XY-2}\\{\color {RoyalBlue}Q}&={\color {RoyalBlue}-3X^{2}+3X+4Y^{2}+8}\end{aligned}}}$

它们的和是：

${\displaystyle {\color {BrickRed}P}+{\color {RoyalBlue}Q}=({\color {BrickRed}3X^{2}-2X+5XY-2})\;+\;({\color {RoyalBlue}-3X^{2}+3X+4Y^{2}+8})}$

化简之後得到：

${\displaystyle P+Q=X+5XY+4Y^{2}+6}$

例：${\displaystyle P={\color {Red}36x^{5}+7x^{4}+66x^{3}+36x^{2}+66x+6}}$、${\displaystyle Q={\color {Violet}5x^{5}-73x^{4}-11x^{3}-11x^{2}+5x+3}}$則

${\displaystyle P-Q=(36-5)x^{5}+(7+73)x^{4}+(66+11)x^{3}+(36+11)x^{2}+(66-5)x+(6-3)=31x^{5}+80x^{4}+77x^{3}+47x^{2}+61x+3}$

例如以下的两个多项式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\color {BrickRed}P&=\color {BrickRed}{2X+3Y+5}\\\color {RoyalBlue}Q&=\color {RoyalBlue}{2X+5Y+XY+1}\end{aligned}}}$

计算它们的乘积，步骤如下：

${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {BrickRed}P}{\color {RoyalBlue}Q}&{=}&&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\end{array}}}$

化简之後得到：

${\displaystyle PQ=4X^{2}+21XY+2X^{2}Y+12X+15Y^{2}+3XY^{2}+28Y+5}$

和整数之间的带余除法类似。可以证明，设有多项式${\displaystyle A}$和非零多项式${\displaystyle B}$，则存在唯一的多项式${\displaystyle Q}$和${\displaystyle R}$，满足：

${\displaystyle A=BQ+R}$

其中多项式${\displaystyle R}$若非零多项式，則其次數严格小于${\displaystyle B}$的次數。

作为特例，如果要计算某个多项式${\displaystyle P}$除以一次多项式${\displaystyle X-a}$得到的餘多项式，可以直接将${\displaystyle a}$代入到多项式${\displaystyle P}$中。${\displaystyle P}$除以${\displaystyle X-a}$的餘多项式是${\displaystyle P(a)}$。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算${\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}$除以${\displaystyle X-3}$，列式如下：

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad \;X^{2}-\;\;\;\!\!9X\;\,-\;27\\\qquad \quad X-3\;{\overline {)\quad X^{3}-12X^{2}+\;\;0X\;\;\!\!-42}}\\\;\;{\underline {\quad \,X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \;\,-\;\,\,\,9X^{2}+\;\;0X\\\qquad \qquad \qquad {\underline {\;\;\!-\;\,\,\,9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,-\;27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,{\underline {-\;27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,\,-123\end{matrix}}}$

因此，商式是${\displaystyle \ X^{2}-9X-27}$，餘式是${\displaystyle \ -123}$。

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k},g(x)=\sum _{k=0}^{m}b_{k}x^{k},f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}x^{k}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&\cdots &c_{n+m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{m}&0&\cdots &0\\0&b_{0}&\cdots &b_{m-1}&b_{m}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}}$

令 ${\displaystyle f(x)=1-x-2x^{2}+x^{3}+3x^{4}-x^{5},g(x)=3-x+x^{2}-x^{3}}$

則${\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}$，应用多项式乘法的矩阵算法，越右側代表越高次項。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1&-2&1&3&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&q_{1}&q_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-1&1&-1&0&0\\0&3&-1&1&-1&0\\0&0&3&-1&1&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}r_{0}&r_{1}&r_{2}&0&0&0\end{pmatrix}}}$

首先，從高次方作f(x)除以g(x)，求${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{0}&q_{1}&q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0\\1&-1&0\\-1&1&-1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}-4&-2&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle q(x)=-4-2x+x^{2}}$

再求${\displaystyle r(x)=f(x)-q(x)g(x)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r_{0}&r_{1}&r_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&-2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-4&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-1&1\\0&3&-1\\0&0&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}13&1&-3\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle r(x)=13+x-3x^{2}}$[3]

MATLAB程式實作

f = [1 -1 -2 1 3 -1];
g = [3 -1 1 -1];
zero_pad = zeros(1, length(f) - length(g));
g = toeplitz([3 zero_pad], [3 -1 1 -1 zero_pad]);

[row_len, col_len] = size(g);
q = f(end - row_len + 1 : end) / g(:, end - row_len + 1 : end)
r = f(1 : end - row_len) - q * g(:, 1 : end - row_len)

多项式方程是指多项式函数构成的方程。给定多项式${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}}$，则对应的多项式函数可以构造方程：

${\displaystyle f_{P}(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}=0}$。

例如：

${\displaystyle x^{3}+3x-4=0}$

就是一个多项式方程。

如果某个${\displaystyle r\in \mathbb {A} }$使得多项式方程${\displaystyle f_{P}(r)=0}$，那么就称${\displaystyle r}$为多项式方程的解，或多项式函数的一个根或零点。多项式函数的根与多项式有如下关系：如果某个${\displaystyle r\in R}$是多项式函数${\displaystyle f_{P}}$的一个根，那么一次多项式${\displaystyle X-r}$整除多项式${\displaystyle P}$，也就是说存在多项式${\displaystyle Q}$，使得：${\displaystyle P=(X-r)Q}$；反之亦然。如果存在（一般来说大于${\displaystyle 1}$的）正整数${\displaystyle k}$，使得${\displaystyle P=(X-r)^{k}Q}$，那么称${\displaystyle r}$是多项式函数的一个${\displaystyle k}$重根。

多项式的根是否存在以及根的数目取决于多项式的系数域以及指定的根所在的域。代数基本定理说明，复系数多项式在复数域内必然有至少一个根。这可以推出，${\displaystyle n}$次多项式函数必定有${\displaystyle n}$个根。这里说的${\displaystyle n}$个根指包括了重根的情况。另外可以证明，奇数次实系数多项式在实数域内至少有一个根。