同调

其过程如下：给定对象${\displaystyle X}$，首先定义链复形，它包含了${\displaystyle X}$的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots }$的序列，群同态${\displaystyle d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}}$满足任何两个相连的同态的复合为0: ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$对于所有n成立。这意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的第n阶同调群为商群（商模）

${\displaystyle H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).}$

链复形称为正合的，如果（n + 1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此${\displaystyle X}$的同调群是${\displaystyle X}$所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。

非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示

${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$

其中第k个同调群${\displaystyle H_{k}(X)}$描绘了X中的k维洞。0维洞即为两个连通分支的间隔，因此${\displaystyle H_{0}(X)}$描绘了X中的路径连通分支。[1]

圆，或称为1维球面${\displaystyle S^{1}}$

一维球面 ${\displaystyle S^{1}}$是一个圆。它有单个连通分支和一个一维洞，但没有更高维洞。其对应的同调群由下式给出

${\displaystyle H_{k}(S^{1})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&k\neq 0,1\end{cases}}}$

其中${\displaystyle \mathbb {Z} }$为整数群，${\displaystyle \{0\}}$为平凡群。群${\displaystyle H_{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }$表示一个有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维洞。[2]

2维球面${\displaystyle S^{2}}$即球的球壳，不包括球的内部。

二维球面${\displaystyle S^{2}}$拥有1个连通分支，0个一维洞，1个二维洞，无更高维的洞。其对应的同调群为[2]

${\displaystyle H_{k}(S^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&k\neq 0,2\end{cases}}}$

一般地，对n维球面Sⁿ，其同调群为

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&k\neq 0,n\end{cases}}}$

实心盘，即2维球${\displaystyle B^{2}}$

二维球B²是一个实心盘。 它具有单个路径连通的分支，但与圆不同的是，它没有一维或更高维的洞。其对应的同调群除了${\displaystyle H_{0}(B^{2})=\mathbb {Z} }$以外均为平凡群。

环面${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

环面被定义为两个圆${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$的笛卡尔积。环面具有一个路径连通的分支，两个独立的一维洞（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维洞（环面的内部）。其对应的同调群为[3]

${\displaystyle H_{k}(T)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&k>=3\end{cases}}}$

两个独立的一维洞组成了一个有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.

导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形${\displaystyle X}$的单纯同调。${\displaystyle A_{n}}$在这里就是${\displaystyle X}$中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射，它将单纯形

${\displaystyle (a[0],a[1],\dots ,a[n])}$

映射为如下的和

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(a[0],\dots ,a[i-1],a[i+1],\dots ,a[n]).}$

如果我们将模取在一个域上，则${\displaystyle X}$的n阶同调的维数就是${\displaystyle X}$中n维的洞的个数。

仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间${\displaystyle X}$的奇异同调。我们定义${\displaystyle X}$的上同调的链复形中的空间为${\displaystyle A_{n}}$为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到${\displaystyle X}$的连续函数。同态${\displaystyle d_{n}}$从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子${\displaystyle F}$和某个模${\displaystyle X}$开始。${\displaystyle X}$的链复形定义如下：首先找到一个自由模${\displaystyle F_{1}}$和一个满同态${\displaystyle p_{1}:F_{1}\rightarrow X}$。然后找到一个自由模${\displaystyle F_{2}}$和一个满同态${\displaystyle p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})}$。以该方式继续，得到一个自由模${\displaystyle F_{n}}$和同态${\displaystyle p_{n}}$的序列。将函子${\displaystyle F}$应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调${\displaystyle H_{n}}$仅依赖于${\displaystyle F}$和${\displaystyle X}$，并且按定义就是${\displaystyle F}$作用于${\displaystyle X}$的n阶导出函子。

链复形构成一个范畴：从链复形${\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}$到链复形${\displaystyle (e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})}$的态射是一个同态的序列${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$，满足${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}}$对于所有n成立。n阶同调 ${\displaystyle H_{n}}$可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象${\displaystyle X}$（也就是任何态射${\displaystyle X\rightarrow Y}$诱导出一个从${\displaystyle X}$的链复形到${\displaystyle Y}$的链复形的态射），则${\displaystyle H_{n}}$是从${\displaystyle X}$所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于${\displaystyle X}$，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为${\displaystyle H^{n}}$）构成从${\displaystyle X}$所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

若${\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}$是链复形，满足出有限个${\displaystyle A_{n}}$外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象${\displaystyle X}$的重要的不变量${\displaystyle \chi }$.

每个链复形的短正合序列

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

导致一个同调群的长正合序列

${\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,}$

所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出，除了映射${\displaystyle H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)}$之外。后者称为连接同态，有蛇引理给出。

• 奇异同调
• 上同调
• 同调论
• 同调代数

• Hatcher, A. . Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-15）. 有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编). . Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398.
• Spanier, Edwin H. . Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.