向心加速度

在向心加速度中，與其它圓周運動相關的物理量有著密切的相關。在圓周運動中，向心加速度存在下面等式:

${\displaystyle a_{c}=r\omega ^{2}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}={\frac {4\pi ^{2}r}{T^{2}}}={\frac {2\pi v}{T}}}$

其中:

• ${\displaystyle a_{c}}$是向心加速度
• ${\displaystyle r}$是圓周運動的半徑
• ${\displaystyle \omega }$是角速度
• ${\displaystyle v}$是切向速度
• ${\displaystyle T}$是周期
• ${\displaystyle \pi }$是圓周率

推导过程

由加速度的定义式可知${\displaystyle a={\frac {\Delta v}{t}}}$

在圆周运动的轨迹上取两点A和B，过A、B两点做关于圆的切线可得知其运动方向，分别作出两个点的速度向量${\displaystyle {\overrightarrow {v_{1}}}}$、${\displaystyle {\overrightarrow {v_{2}}}}$，可知${\displaystyle {\overrightarrow {v_{1}}}\perp OA}$、${\displaystyle {\overrightarrow {v_{2}}}\perp OB}$

将${\displaystyle {\overrightarrow {v_{1}}}}$与${\displaystyle {\overrightarrow {v_{2}}}}$连接，形成向量三角形${\displaystyle A^{'}B^{'}D}$，由前述的垂直关系可得出${\displaystyle \vartriangle A^{'}B^{'}D\sim \vartriangle OAB}$，进而得出 ${\displaystyle {\frac {\Delta v}{v}}={\frac {\overline {AB}}{r}}}$

${\displaystyle \Delta v={\frac {\overline {AB}}{r}}\cdot v}$

${\displaystyle a_{c}={\frac {{\overline {AB}}\cdot v}{r\cdot t}}}$

在两向量之间的距离趋近于0时，${\displaystyle {\overline {AB}}={\overset {\frown }{AB}}}$

所以${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{t}}=v}$（线速度）

${\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}}$

由角速度定义式${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}}$可得${\displaystyle a_{c}=\omega ^{2}\cdot {r}}$

• 向心力

1. 基礎物理二B, 姚珩, 翰林出版, P.7, ISBN 978-986-123-889-0