完整群

微分几何中，一個微分流形上的联络的完整[1]（英語：，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan （1926）引入，以用於對稱空間的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年，乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後，於1953年，馬塞爾·伯格給出所有不可約和樂的分類[2]。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。

定义

向量叢聯絡的和樂

設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量丛，∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移动映射 P_γ : E_x → E_x. 該映射是可逆線性映射，因此是一般线性群 GL(E_x) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ 为 以}}\ \ x{\text{ 为 基 点 的 环 圈 }}\}.

以 x 為基點的限制和樂群是由可縮環圈 γ 給出的子群 $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ .

若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則

\operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.

選取 E_x 的另一組基（即以另一種方式將 E_x 視為與 R^k 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：

$\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 是 GL(k, R) 的連通李子群。
$\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 是 $\operatorname {Hol} (\nabla )$ 的單位連通支。
存在自然的滿群同態 $\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),$ 其中 $\pi _{1}(M)$ 是 M 的基本群。該同態將同倫類 $[\gamma ]$ 映到陪集 $P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$
若 M 單連通，則 $\operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$
∇ 為平（即曲率恆零）当且仅当 $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 為平凡群。

在物理学中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。

主叢聯絡的和樂

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升 ${\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P$ 使得 ${\tilde {\gamma }}(0)=p.$ 水平提升的終點 ${\tilde {\gamma }}(1)$ 未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等價關係。

ω 以 p 為基點的和樂群定義為

\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.

若在定義中僅允許可縮環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ . 其為和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的子群。

若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是，

\operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.

特別地，

\operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,

再者，若 p ~ q, 則 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).$ 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

$\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 是 G 的連通李子群。
$\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 是 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的單位連通支。
存在自然的滿群同態 $\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
若 M 單連通，則 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
ω 為平（即曲率恆零）当且仅当 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 為平凡群。

和樂叢

同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ （即 H (p) 是主 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 叢）。此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。[3]

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q ∈ P 是另一個基點，則有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假設，M 是路連通的）。故 H (q) = H (p) g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

單延拓群

和樂叢 H (p) 是主 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 叢，因此受限和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ （作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H (p) 上。離散群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 稱為聯絡的單延拓群。其作用在商叢 $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 上。存在滿同態 ${\displaystyle \varphi$ 使得 $\varphi (\pi _{1}(M))$ 作用在 $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。[4]

局域及無窮小和樂

若 π: P → M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π⁻¹U 的聯絡。該叢的和樂群記為 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U),$ 而受限和樂群則記為 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U),$ 其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。

若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係

\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).

p 點的局域和樂群定義為

\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),

其中 U_k 為任意一族滿足 $\bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)$ 的遞降（即 $U_{k}\subset U_{k+1}\ \forall k$ ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

其為受限和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 的連通李子群。
每點 p 都有鄰域 V 使得 $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).$ 局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 U_k 的選取。
局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g ∈ G, $\operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega ).$ （注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即 $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$

詞源

英文與「全純」（）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧（1817–1882）和讓-克勞迪·波桂（1819–1895）引入，來自希臘文（holos）和（morphē），意思分別是「全」、「形態」。[5]

""與""的前半（holos）一樣。至於後半：

非常難在網絡上找出（或）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：

我相信潘索（）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的（""）系統，所以它的意思「整體法則」（""）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（）。它與我們的詞數字""來自同一個印歐詞根。

——S. Golwala[6]

參見νόμος（nomos）和-nomy。

安布羅斯－辛格定理

安布羅斯－辛格定理（得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer （1953））描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射联络、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若 ${\displaystyle \sigma$ 是 $M$ 中某曲面的坐標表示，則向量 $V$ 可以沿 $\sigma$ 的邊界平行移動，由原點出發，先沿 $(x,0)$ ，再沿 $(1,y)$ ，再 $(x,1)$ （ $x$ 反方向，即由 $1$ 遞減至 $0$ ），最後 $(0,y)$ ，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量 $V$ 沿該圈平行移動的結果，相當於 $\sigma$ 邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在 $V$ 上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應 $\sigma$ 坐標中的區域 $[0,x]\times [0,y]$ ，而 $x,y$ 趨向於 $0$ ），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於 $x=y=0$ 處的導數：

{\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V

其中 $R$ 為曲率張量。[7]所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之， $R(X,Y)$ 是 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為 $G$ 的主叢 $P\to M$ 某聯絡的和樂。以 ${\mathfrak {g}}$ 表示 $G$ 的李代數，則聯絡的曲率形式是 $P$ 上的 ${\mathfrak {g}}$ 值2-形式 $\Omega$ 。安布羅斯－辛格定理斷言：[8]

$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的李代數，是由 ${\mathfrak {g}}$ 中所有形如 $\Omega _{q}(X,Y)$ 的元素線性張成，其中 $q$ 取遍所有可以用水平曲線 $(q\sim p)$ 與 $p$ 連接的點，而 $X,Y$ 皆是 $q$ 處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法，複述如下：[9]

$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的李代數，是 ${\mathfrak {g}}$ 中形如 $\Omega _{q}(X,Y)$ 的元素張成的線性子空間，其中 $q$ 取遍 $H(p)$ 的元素，而 $X,Y$ 取遍 $q$ 處的水平向量。

黎曼和樂

可約和樂與德拉姆分解

設 $x\in M$ 為任意一點，則和樂群 $\mathrm {Hol} (M)$ 作用在切空間 $T_{x}M$ 上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將 $T_{x}M$ 分解成正交子空間的直和

T_{x}M=T'_{x}M\oplus T''_{x}M,

而兩個子空間皆在 $\mathrm {Hol} (M)$ 作用下不變。此時亦稱 $M$ 可約。

設 $M$ 為可約流形。上式說明，在每一點 $x$ 處，切空間可以約化分解成 $T'_{x}M$ 和 $T''_{x}M$ ，所以當 $x$ 變動時，就定義出向量叢 $T'M$ 和 $T''M$ ，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形皆為完全測地子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察 $M$ ，是笛卡爾積 $M'\times M''$ 。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：[10]

設 $M$ 為單連通黎曼流形，[11]又設在和樂群的作用下， $TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M$ 為切叢的完全約化分解，而和樂群在 $T^{(0)}M$ 上的作用平凡（恆等映射），則 $M$ 局部等距同構於乘積

$V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},$

其中 $V_{0}$ 是歐氏開集，而每個 $V_{i}$ 是 $T^{(i)}M$ 的積分流形。更甚者， $\mathrm {Hol} (M)$ 是 $\mathrm {Hol} (M_{i})$ 的直積（ $M_{i}$ 是 $T^{(i)}$ 過某點的極大積分流形）。

若同時假設 $M$ 測地完備（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各 $M_{i}$ 本身也是測地完備流形。[12]

伯格分类

1955年，馬塞爾·伯格將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地黎曼對稱）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：

$\mathrm {Hol} (g)$	$\mathrm {dim} (M)$	流形類型	備註
正交群 $SO(n)$	$n$	可定向流形	—
酉群 $U(n)$	$2n$	凯勒流形	凱勒
特殊酉群 $SU(n)$	$2n$	卡拉比–丘流形	里奇平、凱勒
辛群 $\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	超凱勒流形	里奇平、凱勒
$\mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)$	$4n$	四元數凱勒流形	愛因斯坦
例外單李群 $G_{2}$	$7$	G2流形	里奇平
旋量群 $\mathrm {Spin} (7)$	$8$	Spin(7)流形	里奇平

1965年，愛德蒙·博南及同時研究和樂群為 $\mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)$ 的流形，構造出其平行4形式。

愛德蒙·博南於1966年最早引入和樂群為 $G_{2}$ 或 $\mathrm {Spin} (7)$ 的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除 $\mathrm {Spin} (9)$ （作為 $SO(16)$ 的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（）一人，與布朗（）、格雷（）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與凱萊平面 $F_{4}/\mathrm {Spin} (9)$ 局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見 $G_{2}$ 流形和 $\mathrm {Spin} (7)$ 流形。

注意 $\mathrm {Sp} (n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)$ ，故超凱勒流形必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（）於2005年給出。[13]第一步要證，若黎曼流形並非局部對稱空間，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是 $\mathrm {Spin} (9)$ （作用於 $\mathbb {R} ^{16}$ ），以及 $U(1)\cdot \mathrm {Sp} (m)$ （作用於 $\mathbb {R} ^{4m}$ ）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的凱萊射影平面）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

和樂群	度量符號
$SO(p,q)$	$(p,q)$
$U(p,q)$	$(2p,2q)$
$SU(p,q)$	$(2p,2q)$
$\mathrm {Sp} (p,q)$	$(4p,4q)$
$\mathrm {Sp} (p,q)\cdot \mathrm {Sp} (1)$	$(4p,4q)$
$SO(n,\mathbb {C} )$	$(n,n)$
$SO(n,\mathbb {H} )$	$(2n,2n)$
分裂 $G_{2}$	$(4,3)$
$G_{2}(\mathbb {C} )$	$(7,7)$
$\mathrm {Spin} (4,3)$	$(4,4)$
$\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )$	$(7,7)$
$(*)\ \mathrm {Spin} (5,4)$	$(8,8)$
$(*)\ \mathrm {Spin} (9,\mathbb {C} )$	$(16,16)$

但是，標 $(*)$ 的兩種和樂群（分裂 $\mathrm {Spin} (9)$ 及複化 $\mathrm {Spin} (9)$ ），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群 $SO(n,\mathbb {C} ),G_{2}(\mathbb {C} ),\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )$ 三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為 $SO(n,\mathbb {H} )$ 子群的流形，R. McLean證明其為局部平。[14]

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間 $G/H$ 同構，其局部和樂群同構於 $H$ ，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群，見下節。

特殊和樂及旋量

一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），[15]尤其有以下各項命題成立：

$\mathrm {Hol} (\omega )\subseteq U(n)$ ，當且僅當 $M$ 上存在平行的射影純旋量場。
若 $M$ 為旋量流形，則 $\mathrm {Hol} (\omega )\subseteq SU(n)$ ，當且僅當 $M$ 具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到 $SU(n)$ 的典範歸約。
若 $M$ 是七維旋量流形，則 $M$ 具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是 $G_{2}$ 的子群。
若 $M$ 為八維旋量流形，則 $M$ 具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是 $\mathrm {Spin} (7)$ 的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论[16]、殆复流形[15]一同研究。

弦論

具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。[17]原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具 $SU(2)$ 或 $SU(3)$ 和樂的卡拉比–丘流形上，以及 $G_{2}$ 流形上。

機器學習

在机器学习，尤其流形學習方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量擴散映射），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（英語：，簡寫GeoManCEr「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。[18]

仿射和樂

仿射和樂群（英語：），是無撓仿射联络的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（英語：）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於非局部對稱的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（英語：）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間、四元數凱勒對稱空間之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設 $V$ 為有限維複向量空間， $H\subseteq \mathrm {Aut} (V)$ 為不可約半單複連通李子群，又設 $K\subseteq H$ 為極大緊子群。

若有不可約埃爾米特對稱空間形如 $G/(U(1)\cdot K)$ ，則 $H$ 和 $\mathbb {C} ^{*}\cdot H$ 兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中 $V$ 為 $K$ 的切表示。
若有不可約四元數凱勒對稱空間形如 $G/(\mathrm {Sp} (1)\cdot K)$ ，則 $H$ 為非對稱不可約仿射和樂群，而當 $\dim V=4$ 時， $\mathbb {C} ^{*}\cdot H$ 亦然。此時， $\mathrm {Sp} (1)\cdot K$ 的複化切表示是 $\mathbb {C} ^{2}\otimes V$ ，而 $H$ 保 $V$ 上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

{\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

{\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}

其中 $Z_{\mathbb {C} }$ 可取平凡群，亦可取為 $\mathbb {C} ^{*}$ 。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

{\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}

（第二行中， $Z_{\mathbb {C} }$ 必須取為平凡群，除非 $n=2$ ，此時可取為 $\mathbb {C} ^{*}$ 。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為預齊性向量空間。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

参见

A-B效应

脚注

. 樂詞網. 國家教育研究院（中文（臺灣））.
Wu, Hongxi. . DSpace@MIT. [2020-02-18]. （原始内容存档于2020-02-18）.
Kobayashi & Nomizu 1963，§II.7
Sharpe 1997，§3.7
Markushevich, A.I. 2005
Golwala 2007，第65–66頁
Spivak 1999，第241頁
Sternberg 1964，Theorem VII.1.2
Kobayashi & Nomizu 1963，Volume I, §II.8
Kobayashi & Nomizu，§IV.5
定理亦可推廣至非單連通流形，但敍述更複雜。
Kobayashi, Nomizu & §IV.6
Olmos, Carlos E. [伯格和樂定理的幾何證明]. Annals of Mathematics. 2005, 161: 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 （英语）.
Bryant, Robert L. . Basse, Arthur L. (编). . Séminaires & Congrès 1. 1996: 93–165 [2021-10-02]. ISBN 2-85629-047-7. （原始内容存档于2020-07-31）（英语）.
Lawson & Michelsohn 1989，§IV.9–10
Baum 1991
Gubser, S., Gubser S.; et al , 编, +Gubser, Steven S., , River Edge, NJ: World Scientific: 197–233, 2004, ISBN 978-981-238-788-2, arXiv:hep-th/0201114 .
Pfau, David; Higgins, Irina; Botev, Aleksandar; Racanière, Sébastien, , Advances in Neural Information Processing Systems, 2020, arXiv:2006.12982

参考文献

Agricola, Ilka. [Srní講座：論有撓不可積幾何]. Arch. Math. 2006, 42: 5–84. arXiv:math/0606705  （英语）.
Ambrose, Warren; Singer, Isadore. [關於和樂的定理]. Transactions of the American Mathematical Society. 1953, 75 (3): 428–443. JSTOR 1990721. doi:10.2307/1990721 （英语）.
Baum, H.; Friedrich, Th.; Grunewald, R.; Kath, I. [黎曼流形上的扭量與基靈旋量]. B.G. Teubner. 1991 （英语）.
Berger, Marcel. [論仿射聯絡流形與黎曼流形的齊性和樂群]. Bull. Soc. Math. France. 1953, 83: 279–330 [2021-10-12]. MR 0079806. doi:10.24033/bsmf.1464. （原始内容存档于2022-06-16）（法语）.
Besse, Arthur L. [愛因斯坦流形]. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [數學與相關領域的結果（3）] 10. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1987: xii+510. ISBN 978-3-540-15279-8 （英语）.
Bonan, Edmond. [微分流形上的幾乎四元結構]. C. R. Acad. Sci. Paris. 1965, 261: 5445–5448 （法语）.
Bonan, Edmond. [論有G2或Spin(7)和樂群的黎曼流形]. C. R. Acad. Sci. Paris. 1966, 320: 127–129 （法语）.
Borel, Armand; Lichnerowicz, André. [黎曼流形的和樂群]. Les Comptes rendus de l'Académie des sciences. 1952, 234: 1835–1837. MR 0048133 （法语）.
Bryant, Robert L. [有例外和樂的度量]. Annals of Mathematics. 1987, 126 (3): 525–576. JSTOR 1971360. doi:10.2307/1971360 （英语）.
Bryant, Robert L. [兩個四維的特異和樂、路徑幾何、扭量論]. Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1991, 53: 33–88. ISBN 9780821814925. doi:10.1090/pspum/053/1141197 （英语）.
Bryant, Robert L. [和樂論的近期進展]. Astérisque. Séminaire Bourbaki 1998–1999. 2000, 266: 351–374. arXiv:math/9910059  （英语）.
Cartan, Élie. [論一類特別的黎曼空間]. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1926, 54: 214–264. ISSN 0037-9484. MR 1504900. doi:10.24033/bsmf.1105 （法语）.
Cartan, Élie. [論一類特別的黎曼空間]. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1927, 55: 114–134. ISSN 0037-9484. doi:10.24033/bsmf.1113 （法语）.
Chi, Quo-Shin; Merkulov, Sergey A.; Schwachhöfer, Lorenz J. [論伯格和樂表示列表不齊全之事]. Invent. Math. 1996, 126 (2): 391–411. Bibcode:1996InMat.126..391C. arXiv:dg-da/9508014 . doi:10.1007/s002220050104 （英语）.
Golwala, S. [物理106ab的古典力學講義] (PDF). 2007 [2020-01-24]. （原始内容 (PDF)存档于2013-10-21）（英语）.
Joyce, D. [具特別和樂的緊流形]. Oxford University Press. 2000. ISBN 978-0-19-850601-0 （英语）.
Kobayashi, S.; Nomizu, K. [微分幾何基礎，卷1和2] New. Wiley-Interscience. 19631996. ISBN 978-0-471-15733-5 （英语）.
Kraines, Vivian Yoh. [四元數流形的拓撲]. Bull. Amer. Math. Soc. 1965,. 71,3, 1 (3): 526–527. doi:10.1090/s0002-9904-1965-11316-7 （英语）.
Lawson, H. B.; Michelsohn, M-L. [Spin幾何]. Princeton University Press. 1989. ISBN 978-0-691-08542-5 （英语）.
Lichnerowicz, André. [聯絡與和樂群的全局理論] 1st. Leiden: Noordhof. 1976 （英语）.
Markushevich, A.I. Silverman, Richard A. , 编. [單複變函數論] 2nd. New York: American Mathematical Society. 2005: 112 [1977] [2020-01-24]. ISBN 978-0-8218-3780-1. （原始内容存档于2012-11-13）（英语）.
Merkulov, Sergei A.; Schwachhöfer, Lorenz J. [無撓仿射聯絡的不可約和樂分類]. Annals of Mathematics. 1999, 150 (1): 77–149. JSTOR 121098. arXiv:math/9907206 . doi:10.2307/121098.及其補遺. Ann. of Math. 1999, 150 (3): 1177–1179. JSTOR 121067. arXiv:math/9911266 . doi:10.2307/121067.
Olmos, C. [伯格和樂定理的幾何證明]. Annals of Mathematics. 2005, 161 (1): 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 （英语）.
Sharpe, Richard W. [微分幾何：克萊因愛爾蘭根綱領的嘉當推廣]. New York: Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-94732-7. MR 1453120 （英语）.
Schwachhöfer, Lorenz J. [具不可約和樂表示的聯絡]. Advances in Mathematics. 2001, 160 (1): 1–80. doi:10.1006/aima.2000.1973 （英语）.
Simons, James. [論和樂系的遞移性]. Annals of Mathematics. 1962, 76 (2): 213–234. JSTOR 1970273. MR 0148010. doi:10.2307/1970273 （英语）.
Spivak, Michael. [微分幾何綜論·卷二]. Houston, Texas: Publish or Perish. 1999. ISBN 978-0-914098-71-3 （英语）.
Sternberg, S. [微分幾何講義]. New York: Chelsea. 1964. ISBN 978-0-8284-0316-0 （英语）.

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[1] . 樂詞網. 國家教育研究院（中文（臺灣））.

[2] Wu, Hongxi. . DSpace@MIT. [2020-02-18]. （原始内容存档于2020-02-18）.

[3] Kobayashi & Nomizu 1963，§II.7

[4] Sharpe 1997，§3.7

[5] Markushevich, A.I. 2005

[6] Golwala 2007，第65–66頁

[7] Spivak 1999，第241頁

[8] Sternberg 1964，Theorem VII.1.2

[9] Kobayashi & Nomizu 1963，Volume I, §II.8

[10] Kobayashi & Nomizu，§IV.5

[11] 定理亦可推廣至非單連通流形，但敍述更複雜。

[12] Kobayashi, Nomizu & §IV.6

[13] Olmos, Carlos E. [伯格和樂定理的幾何證明]. Annals of Mathematics. 2005, 161: 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 （英语）.

[14] Bryant, Robert L. . Basse, Arthur L. (编). . Séminaires & Congrès 1. 1996: 93–165 [2021-10-02]. ISBN 2-85629-047-7. （原始内容存档于2020-07-31）（英语）.

[Lawson-15] Lawson & Michelsohn 1989，§IV.9–10

[16] Baum 1991

[17] Gubser, S., Gubser S.; et al , 编, +Gubser, Steven S., , River Edge, NJ: World Scientific: 197–233, 2004, ISBN 978-981-238-788-2, arXiv:hep-th/0201114 .

[18] Pfau, David; Higgins, Irina; Botev, Aleksandar; Racanière, Sébastien, , Advances in Neural Information Processing Systems, 2020, arXiv:2006.12982 