譜圖論

圖${\displaystyle G}$由譜決定（），意思是具有該譜的圖必與${\displaystyle G}$同構。簡單例子包括：

• 完全圖
• 有限星狀樹，即恰有一個頂點度數大於${\displaystyle 2}$的樹。

若一對圖具有相同的譜，但是不同構，則稱為「共譜配偶」（）。最小一對共譜配偶是${\displaystyle \{K_{1,4},C_{4}\sqcup K_{1}\}}$，前者是五個頂點的星，而後者是四個頂點的環，與獨一個頂點的不交並，如考拉茲和西诺戈维茨於1957年所述。[1][2]最小一對多面體共譜配偶是兩個八頂點的九面體。[3]

幾乎所有树皆會與另一樹共譜。換言之，隨頂點數增加，有共譜樹的樹所佔比率趨於${\displaystyle 1}$。[4]一對正則圖共譜當且僅當其補圖亦共譜。[5]一對距離正則圖共譜，當且僅當其相交陣列相等。

共譜圖亦可藉砂田方法構造。[6]尚有另一類共譜圖，來自各種點線幾何。此種幾何中，以各點為頂點，有直線過兩點則連邊，可得「點共線圖」（）。反之，以直線為頂點，兩直線相交則連邊，可得「線相交圖」（）。兩幅圖必共譜，但經常不同構。[7]

图的奇格常數（），或作奇格數（）、等周數（），直觀理解是用作衡量該圖是否有「瓶頸」。多個學科需要衡量瓶頸程度，所以其用途包括：建造非常連通的计算机网络、洗牌、低維拓撲（尤其研究雙曲3流形時）。

對於一幅${\displaystyle n}$個頂點的圖${\displaystyle G}$，奇格常數${\displaystyle h(G)}$的定義，可用符號寫成：

${\displaystyle h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}}.}$

式中的最小值取遍一切大小不過半的非空頂點集合${\displaystyle S}$，而${\displaystyle \partial (S)}$表示${\displaystyle S}$的邊邊界（），即恰有一端屬${\displaystyle S}$的邊所組成的集。[8]

當${\displaystyle G}$為${\displaystyle d}$正則時，${\displaystyle h(G)}$與度數及第二特徵值之差${\displaystyle d-\lambda _{2}}$（又稱「譜隙」）有關。多久克[9]及阿隆、米爾曼二人[10]分別獨立證出以下不等式：[11]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}.}$

此不等式與马尔可夫链的奇格界密切相關，亦是黎曼几何中，奇格不等式的離散變式。

更一般情況，可考慮連通圖${\displaystyle G}$，不必正則，此時金芳蓉的書[12]^:35中有另一條不等式：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\lambda }\leq {\boldsymbol {h}}(G)\leq {\sqrt {2\Delta \lambda }},}$

式中${\displaystyle \lambda }$是（未歸一的）拉氏算子最小非平凡特徵值，${\displaystyle \Delta }$是最大度，而${\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)}$是經歸一化的奇格常數：

${\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)=\min _{\emptyset \not =S\subset V(G)}{\frac {|\partial (S)|}{\min({\mathrm {vol} }(S),{\mathrm {vol} }({\bar {S}}))}},}$

其中${\displaystyle {\mathrm {vol} }(Y)}$表示${\displaystyle Y}$中各頂點的度數和。