哈代-李特爾伍德極大函數

對任何${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$，可假設Mf(x) > 0。（否則幾乎處處f=0）

任意取0 < c < Mf(x)。從Mf定義知存在r > 0使得

${\displaystyle c_{1}:={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)>c}$

存在${\displaystyle \delta >0}$使得${\displaystyle (r/(r+\delta ))^{n}>c/c_{1}}$。 對任何${\displaystyle x'\in B(x,\delta )}$，有${\displaystyle B(x,r)\subset B(x',r+\delta )}$ 所以

${\displaystyle {\begin{aligned}&Mf(x')\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x',r+\delta )}|f(y)|dm(y)\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x',r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x,r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&>c_{1}\cdot {\frac {c}{c_{1}}}=c\end{aligned}}}$

因此Mf是下半連續。

對每個在集合${\displaystyle \{Mf>c\}}$內的點x，都有${\displaystyle r_{x}>0}$，使得

${\displaystyle {\frac {1}{m(B(x,r_{x}))}}\int _{B(x,r_{x})}|f(y)|dm(y)>c}$

設K為${\displaystyle \{Mf>c\}}$內的緊集。開球${\displaystyle (B(x,r_{x}))_{x\in K}}$是K的一個開覆蓋。因K緊緻，存在有限子覆蓋${\displaystyle (B(x_{i},r_{i}))_{i=1}^{N}}$。（${\displaystyle r_{i}:=r_{x_{i}}}$）

用維塔利覆蓋引理，這有限子覆蓋中存在子集${\displaystyle (B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))_{i_{j}}}$，當中的開球兩兩不交，而且將這些開球的半徑增至三倍後${\displaystyle B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}})}$可以覆蓋K。於是

${\displaystyle {\begin{aligned}m(K)&\leq \sum _{i_{j}}m(B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}}))\\&=\sum _{i_{j}}3^{n}m(B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))\\&<\sum _{i_{j}}{\frac {3^{n}}{c}}\int _{B(x_{i_{j}},r_{i_{j}})}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}}{c}}\int _{K}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}\end{aligned}}}$

上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性，集合${\displaystyle \{Mf>c\}}$的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界，故有

${\displaystyle m(\{Mf>c\})=\sup _{K}m(K)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}}$