奈奎斯特稳定判据

考虑一个线性系统（例如，一个控制器），它的开环传递函数（Open-loop Transfer Function）是 ${\displaystyle G(s)\,}$，当它与反馈 ${\displaystyle H(s)\,}$组成闭环系统时，系统的闭环传递函数（Closed-loop Transfer Function）则为 ${\displaystyle {\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}\,}$。当考察这个系统的稳定性时，一般可以考察其特征方程 ${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0\,}$ 并求解这个方程的根，例如劳斯表就是基於这种方法，其缺点是比较繁琐。事实上，只通过考察这个系统的开环传递函数（）${\displaystyle G(s)H(s)\,}$，并应用波特图或奈奎斯特图就可以得出结论。

任何拉普拉斯域中的传递函数 ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ 都可表示为两个多项式的比值：${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ 的零点是方程${\displaystyle N(s)=0}$的根，${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$的极点是“特征方程”${\displaystyle D(s)=0}$的根。

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$的稳定性由它的极点来决定：只有当系统的每一个极点的实数部分都为负值，即极点都在左半平面时，系统才是稳定的。而对於一个具有单位负反馈的闭环系统，若其开环传递函数由${\displaystyle {\mathcal {F}}(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$给出，则闭环系统的稳定性由特征方程${\displaystyle 1+{\mathcal {F}}(s)=0}$来决定，即等同於求解方程${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$的根。

根据复分析理论特别是其中的辐角原理，可以知道对于复平面 ${\displaystyle s}$ 上的一条围道 ${\displaystyle \Gamma _{s}}$，如果函数 ${\displaystyle F(s)\,}$ 在围道上没有极点或零点，则围道可通过函数 ${\displaystyle F(s)\,}$ 映射到另一平面（${\displaystyle F(s)\,}$ 平面）。映射后的围道 ${\displaystyle \Gamma _{F(s)}}$ 将卷绕 ${\displaystyle F(s)}$ 平面的原点 ${\displaystyle N}$ 次，而 ${\displaystyle N=Z-P}$。这里 ${\displaystyle Z}$ 和 ${\displaystyle P}$ 分别是函数 ${\displaystyle F(s)}$ 在围道 ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ 内的零点数和极点数。注意这里在数 ${\displaystyle F(s)}$ 平面内的卷绕数时是和围道 ${\displaystyle \Gamma _{s}}$ 的方向一致的，从而反向的卷绕会被计为负数。

奈奎斯特於1932年发表最初的论文时没有采用辐角原理，相比之下他所用的方法并不那么简洁优美。这里介绍的方法类似於Leroy MacColl（《伺服系统的基础理论》，1945年）和亨德里克·波特（《网络分析和反馈放大设计》，1945年）所用的方法，他们两人都在贝尔实验室工作过。同时这也是当代大多数有关控制理论的教科书上所介绍的方法。

首先建立一条奈奎斯特围道，这条围道包围了复平面的右半部分：

• 一条沿虚轴${\displaystyle j\omega }$的路径，范围从${\displaystyle 0-j\infty }$到${\displaystyle 0+j\infty }$。

• 一条半径${\displaystyle r\to \infty }$的半圆弧，从${\displaystyle 0+j\infty }$起始顺时针转到${\displaystyle 0-j\infty }$。

奈奎斯特围道通过开环传递函数${\displaystyle F(s)}$的映射即为函数${\displaystyle F(s)}$的奈奎斯特图。根据辐角原理，逆时针为正的情况下卷绕原点的次数等于函数${\displaystyle F(s)}$在右半平面中零点的个数减去右半平面中极点的个数。如果考察围道卷绕（-1, j0）这一点而非原点的次数，则可得知函数${\displaystyle 1+F(s)}$在右半平面中零点的数量与右半平面中极点的数量之差。由于方程${\displaystyle 1+F(s)=0}$的根就是闭环传递函数的极点，并注意到方程${\displaystyle 1+F(s)=0}$和方程${\displaystyle F(s)=0}$具有相同的根的数量，可以得到奈奎斯特稳定判据：

对於给定的奈奎斯特围道${\displaystyle \Gamma _{s}}$，假设${\displaystyle P}$是开环传递函数${\displaystyle F(s)}$在围道内部的极点数量，${\displaystyle Z}$是特征方程${\displaystyle 1+F(s)=0}$在围道内部的根数量——因而${\displaystyle Z}$也是对应的闭环传递函数${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {1}{1+F(s)}}}$在围道内部的极点数量，从而奈奎斯特围道在${\displaystyle F(s)}$平面内的映射${\displaystyle \Gamma _{F(s)}}$，即函数的奈奎斯特图将卷绕(-1 , j0)${\displaystyle N}$次，其中${\displaystyle Z=P-N}$。对於一个稳定系统，要求${\displaystyle Z=0}$。也就是说，闭环传递函数在右半平面上的极点数必须为零，为此开环传递函数${\displaystyle F(s)}$的奈奎斯特图逆时针卷绕(-1 , j0)这一点的次数必须等于${\displaystyle F(s)}$在右半平面上的极点数量。

• 如果开环传递函数${\displaystyle F(s)\,}$在原点上有${\displaystyle l\,}$重极点，则奈奎斯特图在频率${\displaystyle \omega =0\,}$有不连续性。在进一步分析中，应当假设相矢量在极点附近沿着一个半径无限大的半圆转了${\displaystyle l\,}$次。通过附加这一条件，这些位於原点上的极点可以被忽略掉，也就是说，如果系统中没有其他不稳定的极点，开环传递函数${\displaystyle F(s)\,}$应被认为是稳定的。

• 如果开环传递函数${\displaystyle F(s)\,}$在右半平面内没有极点，则它是稳定的，而若其对应的闭环传递函数对（-1+j0）点没有卷绕，则闭环传递函数也是稳定的，否则会是不稳定的。

• 如果闭环传递函数对（-1+j0）点有顺时针卷绕，则它是不稳定的；如果对（-1+j0）点有逆时针卷绕，且逆时针卷绕数等于开环传递函数在右半平面内的极点数，则闭环系统是稳定的，否则会是不稳定的。

1. Nyquist, H. . Bell System Tech. J. (USA: American Tel. & Tel.). January 1932, 11 (1): 126–147 [December 5, 2012]. doi:10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x. （原始内容存档于2014-07-07）. on Alcatel-Lucent website （页面存档备份，存于）