坡印亭定理

用语言描述，此定理是说能量守衡：[2]

此定理还有一种陈述：

数学上，用微分形式概括为：

其中 ∇•S 是坡印亭矢量（能量流）的散度，而 J•E 是场中带电物体做功的功率（J 为对应于电荷运动的自由电流密度，E 为电场强度，• 为点积）。能量密度 u 为：[3]

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)}$

其中 D 是电位移矢量，B 是磁感应强度而 H 是磁场强度，ε₀ 是真空電容率，μ₀ 是真空磁导率。 由于电荷可以自由移动，D 与 H 场忽略任何束缚电荷和电流的电荷分布（由定义），J 是自由电流密度，不是全电流的电流密度。

利用散度定理，坡印亭定理可以改写为积分形式：

其中 ${\displaystyle \partial V\!}$ 为 V 的边界。该体积的形状似任意的但对于计算是固定的。

在電機工程中，该定理通常写成以下把能量密度 u 展开的形式，這與流體力學之连续性方程相似：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0,}$

其中

• ${\displaystyle \epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ 是驱动电场建立的无功功率的密度，
• ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ 是驱动磁场建立的无功功率的密度，
• ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$ 由洛仑兹力作用在载流子上损耗的电功率的密度。

考虑到以上叙述 - 这个定理有三个元素，涉及将（单位时间）能量转移写成体积分：[2]

所以，根据能量守恒定律，单位时间内的能流平衡方程是该定理的积分形式：

${\displaystyle -\int _{V}{\frac {\partial u}{\partial t}}dV=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV+\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} dV,}$

由于体积 V 是任意的，对所有体积来说都是成立的，这意味着

${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$

这是坡印廷定理的微分形式。

从定理可以得到坡印亭矢量 S 的实际形式。能量密度的时间导数（运用向量点乘的乘积法则）为

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$

使用本构关系

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} .}$

时间偏导意味着要用到馬克士威方程組的两个方程。求麦克斯韦–法拉第方程与 H 的点积：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} \ \rightarrow \ \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,}$

再求麦克斯韦–安培方程与 E 的点积：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} \ \rightarrow \ \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} .}$

总和目前的结果得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}-\nabla \cdot \mathbf {S} &={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,\\\end{aligned}}}$

然后，利用向量微积分恒等式：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} =\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} ,}$

给出了坡印廷矢量的表达式：

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$

物理上意味着由于时变电场和磁场的能量传递与这两种场垂直。