多项式变换

设有多项式

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

且

${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$

是其复数根（不必互异）。

对于任意常数c ，以

${\displaystyle \alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c}$

为根的多项式是

${\displaystyle Q(y)=P(y-c)=a_{0}(y-c)^{n}+a_{1}(y-c)^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

如果P的系数为整数，且常数${\displaystyle c={\frac {p}{q}}}$是有理数，那么Q系数可能不是整数，而多项式cⁿ Q仍具有整数系数，并且与Q同根。

特别，若${\displaystyle {\displaystyle c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}}}$，得到的多项式Q会缺少${\displaystyle y^{n-1}}$项。

设有多项式

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

以P之根倒数为根的多项式是P的倒数多项式：

${\displaystyle Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

设有多项式

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$

且c为非零常数。以P之根乘以c的积为根的多项式是

${\displaystyle Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.}$

这里出现了因子${\displaystyle c^{n}}$，是因为如果c与P的系数都属于整数或者某个整环，那么Q的系数也會有相同的特性。

特别地，如果${\displaystyle c=a_{0}}$，那么Q的所有系数就都是c的倍数，而Q/c是一个首一多项式，其系数属于任何同时包含了c与P的各系数的整环。这个多项式变换常常可以用来把化简代数数的问题化约成代数整数的问题。

把此变换与把根平移${\displaystyle {\frac {a_{1}}{na_{0}}}}$的变换组合起来，可以化约任何关于多项式的根的问题，比如把求根化简为对于更简单的首一且不含n-1次方项的多项式的类似问题。

若多项式P不可约，那么得到的多项式Q的结果要么不可约，要么是不可约多项式的幂。设${\displaystyle \alpha }$是P的根，且${\displaystyle \alpha }$生成了域扩张L；那么，前一种情况就意味着${\displaystyle f(\alpha )}$是L的本原元，而Q是L的最小多项式；而在后一种情况下， ${\displaystyle f(\alpha )}$属于L的一个子域，而它的最小多项式是以Q为幂的不可约多项式。