完整群

微分几何中,一個微分流形上的联络完整[1]英語:,又譯和樂),描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後,與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象,其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡,都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出,例如黎曼几何列维-奇维塔联络的和樂(稱為黎曼和樂)。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂,以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中,聯絡的和樂可用一個李群描述,稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關,見安布羅斯-辛格定理

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan 1926引入,以用於對稱空間的分類上。然而,很久以後,和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年, 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理:若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間,則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後,於1953年,馬塞爾·伯格 給出所有不可約和樂的分類[2]。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論

定义

向量叢聯絡的和樂

M光滑流形E 為其上的 k向量丛,∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移动映射 Pγ : ExEx. 該映射是可逆線性映射,因此是一般线性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

x 為基點的限制和樂群是由可縮環圈 γ 給出的子群.

M 連通,則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說,若 γM 中由 xy 的路徑,則

選取 Ex 的另一組基(即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同)同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中(下同),可將基點略去,但倘如此行,則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括:

  • 是 GL(k, R) 的連通李子群
  • 單位連通支
  • 存在自然的滿群同態 其中 M 的基本群。該同態將同倫類 映到陪集
  • M 單連通,則
  • ∇ 為平(即曲率恆零)当且仅当 為平凡群。

在物理学中,威爾森迴圈是 tr(P)(特徵標理論)。

主叢聯絡的和樂

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G李群P仿緊光滑流形 M 上的G。設 ωP 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升 使得 水平提升的終點 未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 pq 之間有分段光滑的水平提升路徑連接,則稱 p ~ q. 如此,~ 是 P 上的等價關係

ωp 為基點的和樂群定義為

若在定義中僅允許可縮環圈 γ 的水平提升,則得到以 p 為基點的受限和樂群 . 其為和樂群 的子群。

MP連通,則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說,若 q 是另一個基點,則有唯一的 gG 使得 q ~ p·g. 於是,

特別地,

再者,若 p ~ q, 則 因此,有時可省略基點不寫,但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括:

  • G 的連通李子群
  • 單位連通支
  • 存在自然的滿群同態
  • M 單連通,則
  • ω 為平(即曲率恆零)当且仅当 為平凡群。

和樂叢

同上,設 M 為連通仿緊流形,P 為其上的主 G 叢,ωP 上的聯絡。設 pP 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢,且具有結構群 (即 H (p) 是主 叢)。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p和樂叢ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡,因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外,H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持,所以其在該類約化主叢之中為最小。[3]

與和樂群類似,和樂叢在環繞它的主叢 P等變。具體說,若 qP 是另一個基點,則有 gG 使得 q ~ p g(按假設,M 是路連通的)。故 H (q) = H (p) g. 於是,兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的,即:兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

單延拓群

和樂叢 H (p) 是主 叢,因此受限和樂群 (作為全個和樂群的正規子群)也作用在 H (p) 上。離散群 稱為聯絡的單延拓。其作用在商叢 上。存在滿同態 使得 作用在 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示[4]

局域及無窮小和樂

若 π: PM 為主叢,ω 為 P 的聯絡,則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 UM 的連通開集,則將 ω 限制到 U 上可得叢 π−1U 的聯絡。該叢的和樂群記為 而受限和樂群則記為 其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。

UV 為包含 π(p) 的兩個開集,則有包含關係

p 點的局域和樂群定義為

其中 Uk 為任意一族滿足 的遞降(即 )連通開集。

局域和樂群有以下性質:

  1. 其為受限和樂群 的連通李子群。
  2. 每點 p 都有鄰域 V 使得 局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 Uk 的選取。
  3. 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變,即對任意 gG, (注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群,故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質,例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而,有以下的定理:

  • 若局域和樂群的維數恆定,則局域和樂群與受限和樂群相等,即

詞源

英文與「全純」()相似,"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧(18171882)和讓-克勞迪·波桂(18191895)引入,來自希臘文(holos)和(morphē),意思分別是「全」、「形態」。[5]

""與""的前半(holos)一樣。至於後半:

非常難在網絡上找出(或)的詞源。我找到(鳴謝普林斯頓約翰·康威):

我相信潘索()最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中,若某種意義下,能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊,就叫一個和樂的 ("")系統,所以它的意思「整體法則」("")很貼切。球在桌上滾動並不和樂,因為沿不同的路徑滾到同一點,可以使球的方向不同。然而,將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思,可能更多時解「數算」()。它與我們的詞數字""來自同一個印歐詞根

——S. Golwala[6]

參見νόμοςnomos)和-nomy

安布羅斯-辛格定理

安布羅斯-辛格定理(得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer 1953)描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理,先考慮較熟知的情況,如仿射联络、切叢聯絡(或其特例列維-奇維塔聯絡)。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈,就會感受到曲率。

引入更多細節,若中某曲面的坐標表示,則向量可以沿的邊界平行移動,由原點出發,先沿,再沿,再反方向,即由遞減至),最後,回到原點。此為和樂環圈的特例,因為向量沿該圈平行移動的結果,相當於邊界的提升,對應的和樂群元素,作用在上。當平行四邊形縮至無窮小時(即沿更小的平行四邊形圈,對應坐標中的區域,而趨向於),就會明確得到曲率。換言之,取平行移動映射於處的導數:

其中曲率張量[7]所以,粗略而言,曲率給出閉環圈(無窮小平行四邊形)上的無窮小和樂。更嚴格地,曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之,李代數的元素。

一般來說,考慮結構群為的主叢某聯絡的和樂。以表示的李代數,則聯絡的曲率形式上的值2-形式。安布羅斯-辛格定理斷言:[8]

的李代數,是由中所有形如的元素線性張成,其中取遍所有可以用水平曲線連接的點,而皆是處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法,複述如下:[9]

的李代數,是中形如的元素張成的線性子空間,其中取遍的元素,而取遍處的水平向量。

黎曼和樂

可約和樂與德拉姆分解

為任意一點,則和樂群作用在切空間上。視之為群的表示,則可能不可約,亦可能可約,即可以將分解成正交子空間的直和

而兩個子空間皆在作用下不變。此時亦稱可約

為可約流形。上式說明,在每一點處,切空間可以約化分解成,所以當變動時,就定義出向量叢,兩者皆光滑分佈,且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形皆為完全測地子流形,換言之,子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察,是笛卡爾積。重複上述分解,直到切空間完全約化,則得到(局部)德拉姆同構:[10]

單連通黎曼流形,[11]又設在和樂群的作用下,為切叢的完全約化分解,而和樂群在上的作用平凡(恆等映射),則局部等距同構於乘積

其中歐氏開集,而每個的積分流形。更甚者,的直積(過某點的極大積分流形)。

若同時假設測地完備(每點每個方向的測地線皆可無限延伸),則定理不僅局部成立,而是全域成立,且各本身也是測地完備流形。[12]

伯格分类

1955年,馬塞爾·伯格將不可約(並非局部等同積空間)、非對稱(並非局部地黎曼對稱)、單連通的黎曼流形,可能具有的和樂群,完全分類。伯格分類表如下:

流形類型備註
正交群可定向流形
酉群凯勒流形凱勒
特殊酉群卡拉比–丘流形里奇平、凱勒
辛群超凱勒流形里奇平、凱勒
四元數凱勒流形愛因斯坦
例外單李群G2流形里奇平
旋量群Spin(7)流形里奇平

1965年,愛德蒙·博南及同時研究和樂群為的流形,構造出其平行4形式。

愛德蒙·博南於1966年最早引入和樂群為的流形,他構造出全部平行形式,並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中,未排除(作為的子群)。後來,迪米特里·阿列克謝耶夫斯基()一人,與布朗()、格雷()二人,分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱,即與凱萊平面局部等距同構,或局部平坦,故上表不列。上表列出的各可能,現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現,見流形流形

注意,故超凱勒流形必為卡拉比-丘卡拉比-丘流形必為凱勒,而凯勒流形可定向

以上看似奇怪的列表(伯格定理),可由西蒙斯(Simons)的證明解釋。另有一個簡單幾何證明,由卡洛斯·奧爾莫斯()於2005年給出。[13]第一步要證,若黎曼流形並非局部對稱空間,而約化和樂在切空間上的作用不可約,則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面:上表所列各項,以及兩個額外情況,分別是(作用於),以及(作用於)。最後,要驗證前者只能作為局部對稱空間(局部同構於的凱萊射影平面)的和樂群,而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類,尚有涵蓋非正定偽黎曼度量,其給出非局部對稱和樂的可能列表為:

和樂群度量符號
分裂

但是,標的兩種和樂群(分裂及複化),如同正定的情況,只能在局部對稱空間出現,故應予刪去。至於複化和樂群三種,可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為子群的流形,R. McLean證明其為局部平。[14]

對稱黎曼空間,因為局部與齊性空間同構,其局部和樂群同構於,經已分類完畢

最後,伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群,見下節

特殊和樂及旋量

一些流形具特殊的和樂,該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃(平行旋量即協變導數為零的旋量場),[15]尤其有以下各項命題成立:

  • ,當且僅當上存在平行的射影純旋量場。
  • 旋量流形,則,當且僅當具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上,平行純旋量場足以確定由結構群的典範歸約。
  • 是七維旋量流形,則具有非平凡平行旋量場,當且僅當和樂群是的子群。
  • 為八維旋量流形,則具有非平凡平行旋量場,當且僅當和樂群是的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论[16]殆复流形[15]一同研究。

弦論

具特殊和樂的黎曼流形,對弦論緊化很重要。[17]原因是,特殊和樂流形上,存在共變常值(即平行)旋量,於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具和樂的卡拉比–丘流形上,以及流形上。

機器學習

机器学习,尤其流形學習方面,曾有人提出,藉計算黎曼流形的和樂,得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構,其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限,無法完全準確計算出和樂群,但利用來自譜圖論的思想(類似向量擴散映射),有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」(英語:,簡寫GeoManCEr探地者」),能給出德拉姆分解的數值近似,並應用於現實數據。[18]

仿射和樂

仿射和樂群英語:),是無撓仿射联络的和樂群;其中一些不能作為(偽)黎曼和樂群出現,稱為非度量和樂群英語:)。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群,所以離完成分類尚有很遠,但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中,發現對於非局部對稱的無撓仿射聯絡而言,和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則(英語:)是安布羅斯-辛格定理(即曲率張量生成和樂的李代數,見前節)的後果;而第二準則,來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則,且作用不可約的群,可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表,其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特(1991)和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer(1996)找到未在列表的例子,有時稱為「怪和樂」()。努力搜索例子之後,最終由Merkulov和Schwachhöfer(1999年)完成不可約仿射和樂群的分類,而反方向的結果則由布萊恩特(2000年)證明,即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間四元數凱勒對稱空間之間有聯繫之後,Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確,見於Schwachhöfer(2001)。

為有限維複向量空間,為不可約半單複連通李子群,又設為極大緊子群。

  1. 若有不可約埃爾米特對稱空間形如,則兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群,其中的切表示。
  2. 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如,則為非對稱不可約仿射和樂群,而當時,亦然。此時,的複化切表示是,而上某個複辛形式

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群,例外僅有:

利用埃爾米特對稱空間的分類,第一族的複仿射和樂群有:

其中可取平凡群,亦可取為

同樣,用四元數凱勒對稱空間的分類,第二族複辛和樂群有:

(第二行中,必須取為平凡群,除非,此時可取為。)

從以上各列表,可以觀察出一個結論,類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面:複和樂表示皆為預齊性向量空間。但是,未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類,用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論,結合上表,仔細分析便得。

参见

脚注

  1. . 樂詞網. 國家教育研究院 (中文(臺灣)).
  2. Wu, Hongxi. . DSpace@MIT. [2020-02-18]. (原始内容存档于2020-02-18).
  3. Kobayashi & Nomizu 1963,§II.7
  4. Sharpe 1997,§3.7
  5. Markushevich, A.I. 2005
  6. Golwala 2007,第6566頁
  7. Spivak 1999,第241頁
  8. Sternberg 1964,Theorem VII.1.2
  9. Kobayashi & Nomizu 1963,Volume I, §II.8
  10. Kobayashi & Nomizu,§IV.5
  11. 定理亦可推廣至非單連通流形,但敍述更複雜。
  12. Kobayashi, Nomizu & §IV.6
  13. Olmos, Carlos E. [伯格和樂定理的幾何證明]. Annals of Mathematics. 2005, 161: 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 (英语).
  14. Bryant, Robert L. . Basse, Arthur L. (编). . Séminaires & Congrès 1. 1996: 93–165 [2021-10-02]. ISBN 2-85629-047-7. (原始内容存档于2020-07-31) (英语).
  15. Lawson & Michelsohn 1989,§IV.9–10
  16. Baum 1991
  17. Gubser, S., Gubser S.; et al , 编, +Gubser, Steven S., , River Edge, NJ: World Scientific: 197–233, 2004, ISBN 978-981-238-788-2, arXiv:hep-th/0201114可免费查阅.
  18. Pfau, David; Higgins, Irina; Botev, Aleksandar; Racanière, Sébastien, , Advances in Neural Information Processing Systems, 2020, arXiv:2006.12982可免费查阅

参考文献

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