定點數運算

為了效率考量，缩放系数（scaling factor）一般會是基數b（2 或是 10）的正冪次，或是負冪次，因此實際內部仍然可以用類似整數的方式處理。不過缩放系数也需依應用而定。因此許多的數字可能其數值其實是用二進制記錄，但為了使用方便人类读写，缩放系数仍選擇10的幂，10的幂的缩放系数也可以配合国际单位制，因為選擇特定的縮放係數，可能相當於使用另外一個大小較適合的單位，例如使用厘米或微米，而不是使用米。

不过有时也会使用其它缩放系数，例如可以用 1/3600 缩放系数的定点数来表示以小时为单位的时间值，可以精确到秒。

就算針對定點數進行最仔細的四捨五入，缩放係数S的定點數，其誤差最大會到其整數數±0.5，因此誤差的實際數值範圍是±0.5 S。若縮放係數越小，所得到結果越準確。

不過，縮放係數越小也表示相同長度下所能記錄的數值會比較小。定點數下可以儲存的最大數值會對應可儲存的最大整數，再乘以轉換係數，其最小值也類似。例如，下表列出在16位元有號二進制定點數下，不同小數位元f下的缩放係数S，可以表示的最大值和最小值V_min和V_max，以及其精度δ = S/2。

在二進制的定點數中，考慮二進制下的分數a/2^m（例如1/16或17/32），若其縮放係數為1/2ⁿ，且n ≥ m，即可以精確的用二進制定點數表示。不過大部份的十進制小數（如0.1或0.123）在二進制下會是無窮循环小数，因此無法用二進制表示其精確值。

十進制的情形也類似，考慮十進制下的分數a/10^m（例如1/100或37/1000）若其縮放係數為1/10ⁿ，且n ≥ m，即可以精確的用十進制定點數表示。若分母是二的次幂的分數a/2^m（如1/8 (0.125)或17/32 (0.53125），且n ≥ m，也可以精確的用十進制定點數表示。

若考慮有理数 a/b，其中a和b互質，b為正數。若用二進制的定點數表示，只有在b是2的次幂下才能表示其精確值，若用十進制的定點數表示，只有在b的質因數沒有2和5以外的數字時，才能表示其精確值。

表示字长和二进制定点数中小数点位置的方法有很多种。下面的例子中，使用 f 表示小数部分位数、m 表示整数部分位数、s 表示符号位位数、b 表示总位数，其中「位数」均为比特位。

• Qf：称作「Q 格式」，Q15 表示 15 个小数位。这样的记法存在歧义，因为没有包含字长，但实际使用时一般可以根据目标处理器平台判断字长为 16 或者 32 位。[1]
• Qm.f：无歧义的 Q 格式，因为整个字是补码整数，所以符号位长度可以根据其它信息推导而来。例如 Q1.30 表示该数有 1 个整数位、30 个小数位，是 32 位补码整数。[1][2]
• fxm.b：「fx 格式」与上述 Q 格式类似，区别在于点号后是字长。例如 fx1.16 表示有 1 个整数位、15 个小数位的 16 位字。[3]
• s:m:f：PS2 中所使用的表示法，包含符号位信息。[4]0:8:0 表示 8 位无符号整数。

若要針對二個縮放係數相同的數字相加或相減，直接針對數字運算即可，運算結果也會有相同的縮放係數，因此可以儲存在變數中，或是用在後續的運算中。只要運算過程沒有算術溢位（也就是運算過程和結果都可以正確的儲存），其結果就會是精確的。若二個縮放係數不相同的數字要相加減，需轉換到相同的縮放係數，才能相加減。

若要將二個定點數相乘，可以直接將其數字相乘，再假設最後積的縮放係數是被乘數和乘數縮放係數的乘積即可。只要沒有捨入，也沒有運算溢位，結果會是精確的。

例如，要將123（缩放系数1/1000，實際數值是0.123）和25（缩放系数1/10，實際數值是2.5）會得到123×25 = 3075，缩放系数是(1/1000)×(1/10) = 1/10000，因此實際數值是0.3075。另一個例子是將第一個數字和155（缩放系数1/32，實際數值是155/32 = 4.84375）相乘，所得的數字是123×155 = 19065，其缩放系数是(1/1000)×(1/32) = 1/32000，因此實際數值是19065/32000 = 0.59578125。

為了避免溢位，儲存乘積的變數長度會比被乘數和乘數的要長，例如被乘數和乘數分別是十進制的二位數，乘積需要用十進制的四位數來儲存，才不會溢位。

若要將二個定點數相除，可以直接將其數字相除，再假設最後商的縮放係數是被除數和除數縮放係數相除後的商即可。一般來說，相除時會出現捨入，因此結果無法完全精確。

例如，3456（缩放系数1/100，實際數值34.56）和1234（缩放系数1/1000，實際數值1.234）相除會得到3456÷1234 = 3（有捨入），其缩放系数為(1/100)/(1/1000) = 10，因此實際數值是30。若第一個數除以155（缩放系数1/32，實際數值155/32 = 4.84375），會得到3456÷155 = 22（有捨入），其缩放系数為(1/100)/(1/32) = 32/100 = 8/25，因此數值為22×32/100 = 7.04。

在結果不精確時，若被除數使用較小的缩放系数，可以縮小（甚至消除）因為捨入產生的誤差。例如，r = 1.23，表示為定點數123，缩放系数1/100，而s = 6.25，表示為6250，缩放系数1/1000，相除後的結果是123÷6250 = 0（有捨入），其缩放系数為(1/100)/(1/1000) = 10。若r先轉換為缩放系数1/1000000的數字，定點數表示會是1/1000000，其結果會是1,230,000÷625 = 197（有捨入），其缩放系数為1/1000（實際數值是0.197）。其精確值是1.23/6.25 = 0.1968，後者的計算結果比較接近。

在定點數運算中，常常需要調整定點數的缩放系数，以下是一些可能的原因:

• 將一數值存到不同缩放系数的變數中。
• 將二個數值轉換為相同的缩放系数，以便相加減或是比較。
• 一個數值在和其他數值相乘或是相除後，恢復成原來的缩放系数。
• 要增加除法運算的精度
• 要確保乘積或是商的缩放系数是像10ⁿ或2ⁿ，基數的次幂。
• 要確保運算結果可以在沒有溢位的情形下儲存在變數內。
• 為了要減少處理定點數硬體的成本。

若要將縮放係數R的定點數轉換為縮放係數S的定點數，整數需要乘以R/S。以1.23（= 123/100）為例，若要從縮放係數R=1/100，轉換為縮放係數S=1/1000，整數123要乘以(1/100)/(1/1000) = 10，因此即為1230/1000。

若二個縮放係數都是基數的次幂，調整縮放係數只是除去較低位數的數字，或是在較低位數增加零。不過，此一運算不能改變符號位元，因此需要像算术移位運算一樣的方式，延伸其符號位元。

若R不能被S整除（特別是新的縮放係數S比原來的縮放係數R要大），產生的整數需要進行数值修约。

若r和s是定點數，其縮放係數分別為R和S，運算r ← r×s需要將整數相乘，再除以S，所得結果可能會有数值修约，也有可能會溢位。

例如，二個定點數的縮放係數都是1/100，將1.23乘以0.25，其整數相乘是123乘以25，得到3075，而縮放係數是1/10000，為了還原到1/100的縮放係數，3075需乘以1/100，也就是除以100，依数值修约方法的不同，所得結果可能是31（0.31）或是30（0.30）。

而運算r ← r/s需要將整數相除，再乘以S，所得結果可能會有数值修约，也有可能會溢位。

若要將浮點數轉換為定點數，可以將浮點數除以縮放係數S，再修约到最接近的整數。需確認對應的變數有足夠的大小儲存所得的結果。依縮放係數、變數長度，以及數值大小的不同，轉換有可能需要修约。

若要將定點數轉換為浮點數，可以將定點數乘以縮放係數S。若整數的絕對值超過2²⁴（IEEE單精度浮點數）或2⁵³（IEEE雙精度浮點數），可能會需要修约。若|S|非常大或是非常小，可能會有溢位或算术下溢（小於可以表示的最小數）的情形。

一般的處理器沒有特別支援定點數的運算，不過大部份二進位運算的處理器會有快速的位操作指令，因此可以在很短的時間進行和二的乘幂的乘法或除法，有些還有算术移位指令，在和二的乘幂相乘除的同時，還可以保留數字的正負號。

早期像是IBM 1620或是Burroughs B3500的電腦會使用二進碼十進數（BCD）表示法來處理整數，在十進制下每一個位數會分別用四個次元來儲存，有些處理器還使用此一運算方式，因此可以用移位的方式來處理和十的乘幂相乘除的運算。

有些DSP架構會支援特定的定點運算格式，例如有號的n位元數字，其中有n−1位是儲存小數（其儲存數值範圍從-1到幾乎是+1的），其中會有特別包括正規化的乘法指令，在相乘後將小數位數從2n−2位調整回n−1位。若DSP沒有支援此一機能，程式設計者需要用夠大的暫存器或是暫存變數來儲存此數值，再另外用程式進行正規化處理。

若運算結果的數值太大，超過要儲存位置可以儲存的範圍，就會出現溢位。若是加法或是減法，所得結果會比運算數字多一個位元，若是乘法，所得結果的位元數會是二個運算數字位元數的和。

若出現溢位，最高位元的資訊可能會因此而更改，若儲存空間有n位元，所儲存的會是除以2ⁿ的餘數，而最高位元會視為符號位元，因此結果的大小及正負號都可能改變。

有些處理器有溢位旗標，或是在溢位時進行的异常处理。有些處理器則會有饱和运算，若相加或是相減的結果可能會溢位，考慮其正負號，儲存相同符號，絕對值最大的數值。，

饱和运算只保留了正負號，無法保留結果的大小，在實務上可能不太實用。一般比較簡單及安全的作法是選擇適當的缩放系数以及變數儲存長度，避免溢位的可能性，或者在運算之前先檢查運算結果是否可能溢位。

以下是二個三位小數的定點數乘法。

(10.500)(1.050) =1*10.500 + 0.050*10.500 = 10.500+0.525000=11.025000

因為有三位小數，因此保留小數最後的0。為了要重整為整數乘法，先將數字都乘以1000，使數字都變成整數，之後再乘以${\displaystyle 1/1000}$二次，使最終結果不會改變，其算式如下

(10.500)(10^(3)) (1.050)(10^(3))  (10^(-3))(10^(-3))
= (10500)(1050) (10^-6)
= 11 025 000  (10^-6)
= 11.025000

若用其他的進制（例如方便計算的二進制），也可以用類似的原理來進行，因為二進制的左移或右移都相當是數值的乘2或是除2。十進制的三位數接近二進制的十位數，因此可以將0.5表示為有十位小數的二進制數字。最低的近似值是0.0000110011.

10= 8+2=2^3+2^1
1=2^0
0.5= 2^-1
0.05= 0.0000110011（二進制）

乘法會變成

(1010.100)(2^3)(1.0000110011)(2^10) (2^-13)
=(1010100)(10000110011) (2^-13)
=(10110000010111100) (2^-13)
=1011.0000010111100

若轉為十進制，保留三位小數，會是11.023。

考慮計算1.2乘5.6的乘積，使用有16位小數的二進制定點數。為了要表示這二個數字，需先將二個數字乘以2¹⁶，所得的是78643.2和367001.6，再四捨五入到最近整數，是78643和367002，此數字可以放在32位元的word中，用二補數的有號數表示法。

二個數字相乘會得到35位元的整數28862138286，小數位數則有32位。若放在32位元的整數中，會出現溢位，而且會失去最高位的位元，因此，應該存在有號的64位元整數變數或是寄存器中。

若結果要儲存在也是16位小數的資料格式中，上述的整數需要除以2¹⁶，結果會是440401.28，再四捨五入到最近整數，可以用先加上2¹⁵，再將數字右移16位元的方式達到相同效果，其結果是440401，表示的數值是6.7199859619140625。考慮此格式的精度，結果可以表示為6.719986 ± 0.000008（不考慮運算近似產生的誤差）。正確結果是1.2 × 5.6 = 6.72。