解析函数

形式地說，设開集${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ ，且函數 ${\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} }$，若對任何 ${\displaystyle x_{0}\in D}$ 都存在 ${\displaystyle x_{0}}$ 在 ${\displaystyle D}$ 中的開鄰域，使得 ${\displaystyle f}$ 在其內可表為下述收斂冪級數,則此（實）函數稱為${\displaystyle D}$上的（實）解析函數：

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots }$

其中係數 ${\displaystyle a_{i}}$ 皆為實數。

或者等价地，實解析函數也可以定義為在定義域 ${\displaystyle D}$ 內每一點${\displaystyle x_{0}}$的泰勒級數皆逐点收斂的光滑函數 ${\displaystyle f}$，即：

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

在${\displaystyle x_{0}}$的某个邻域收斂到 ${\displaystyle f(x)}$。

集合${\displaystyle D}$上的解析函数全体组成的集合通常记做${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }(D)}$。

若函数${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x_{0}}$的某个邻域上解析，则称${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x_{0}}$处解析。

複解析函數的定義類此，僅須將上式的中的實數線換作複平面，並將實數換作複數即可。一个函数是复解析的，当且仅当这个函数是全纯的（即复可微的）。出于这个原因，术语“全纯”和“解析”经常可以互换。

典型的解析函数有：

• 全部初等函数：
  • 多項式函数是解析的。对于次数为n的多项式，其泰勒级数中大于n阶的项必为零，自然也是收敛的。
  • 指數函數是解析的。这个函数的泰勒级数在整个复平面上收敛。
  • 三角函數、对数函数、幂函数在相应的定义域上都是解析的。

• 多数特殊函数（至少在复平面上的某些区域）
  • 超几何函数
    • 贝塞尔函数
  • 伽马函数

典型的非解析函数有：

• 絕對值函數非解析函數，因為它在点0处不可微。分段定义的函数在分段处通常不是解析的。
• 複共軛函數${\displaystyle z\mapsto z^{*}}$非複解析函數，尽管它在實數線上的限制（即恆等函数）是实解析函數。但如果把它看作从${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$到${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的映射，则是实解析的。

以下条件等价：

1. ${\displaystyle f}$是${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$上的实解析函数。
2. ${\displaystyle f}$可以复解析延拓到复平面的开集${\displaystyle G}$上，${\displaystyle G\supseteq D}$。
3. ${\displaystyle f}$是光滑的，且对任意紧集${\displaystyle K\subset D}$，存在常数${\displaystyle C}$使得对任意的${\displaystyle x\in K}$、非负整数${\displaystyle k}$，不等式${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}\right|\leq C^{k+1}k!}$成立。

复解析函数与全纯函数等价，因此也更容易鉴别。

• 解析函數的和、積與复合仍是解析函數（惟合成時須留意定義域的問題）。
• 若解析函數在一個開集上非零，則它在該開集上的倒數仍為解析函數。若一个可逆解析函数的导函数处处不为0，则其反函数也是解析函数。
• 凡解析函數皆屬光滑函數，即无穷可微。逆命题对实解析函数不成立。实际上，在某种意义上，实解析函数相比于实光滑函数是很稀少的。对复函数，逆命题确实成立，实际上任何一次可微的复函数都是解析的。
• 对任何开集${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$，所有解析函数组成的集合${\displaystyle {\mathcal {A}}(\Omega )}$是弗雷歇空间（关于紧集上的一致收敛）。由莫雷拉定理易得解析函数在紧集上的一致极限仍是解析函数。全部的有界解析函数${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\infty }(\Omega )}$关于上确界范数构成巴拿赫空间。

事實上，假設所論解析函數皆可在原點附近一開集 ${\displaystyle B(0,r):=\{x:|x|<r\}}$ 上表示為冪級數，則上述運算可以形式地操作：

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}+\sum _{i\geq 0}b_{i}x^{i}=\sum _{i\geq 0}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}\cdot \sum _{j}b_{j}x^{j}=\sum _{k\geq 0}(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j})x^{k}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i},g(x)=\sum _{i>0}b_{i}x^{i}}$

${\displaystyle \Rightarrow (f\circ g)(x)=\sum _{i\geq 0}(\sum _{j>0}b_{j}x^{j})^{i}}$（定義域可能會縮小）

${\displaystyle f(x)=1-\sum _{i>0}a_{i}x^{i}\Rightarrow {\dfrac {1}{f(x)}}=\sum _{j\geq 0}(\sum _{i>0}a_{i}x^{i})^{j}}$

其中每個運算結果的係數都可以寫成有限的代數式。

一個非零多項式的零點數不大於它的次數，解析函數的零點也有類似的限制：若一解析函數的零點集在定義域內有極限點，則函數在包含該點的连通分支上恆為零。此外，若解析函數在一點的各階導數皆為零，則該函數在含該點的连通分支上為常數函數。

這些性質表明：尽管解析函數比多项式有更多的自由度，它仍是一個具有相當「剛性」的數學物件。

本段中提到的光滑卻非解析的函數

如上所述，實或複解析函數均在實變數的意義上無窮可微（記作光滑函數，或 ${\displaystyle C^{\infty }}$）。但是存在光滑卻非解析的函數，典型的例子是

${\displaystyle f(x):={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&x>0,\\0&x\leq 0\end{cases}}}$

可證明它是光滑的，且在原點的任意開鄰域內都有無窮多個零點，故非解析。

複解析函數則不同：凡複解析函數必為全純函數（即複可導，以實變數表示則是滿足柯西-黎曼方程），反之亦然，因此全純函數與解析函數在複分析中是同一類對象。

實解析與複解析函數有些重要差異，一般而言複解析函數更具剛性。

依據劉維爾定理，定義在整個複平面上的有界解析函數必為常數。此結論對實解析函數不成立，例如：

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$

此外，若一個複解析函數在一個以 ${\displaystyle x_{0}}$ 為中心的開圓盤內有定義，則在 ${\displaystyle x_{0}}$ 的冪級數展开式在該開圓盤內收斂。對實解析函數則不然。上面举的例子在${\displaystyle x_{0}=0}$处的泰勒展开式为${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}x^{2n}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots }$，在${\displaystyle |x|>1}$时发散。

給定實數線上一個區間 ${\displaystyle I}$ 上的實解析函數 ${\displaystyle f}$，則 ${\displaystyle f}$ 能延拓為複平面上一開集 ${\displaystyle U\supset I}$ 上的複解析函數。然而定義在整個 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的實解析函數不一定能延拓到整個 ${\displaystyle \mathbb {C} }$，如前例之 ${\displaystyle f}$，在点${\displaystyle \pm i}$处无定义。这解释了为何${\displaystyle f}$的泰勒级数在${\displaystyle |x|>1}$时发散，收敛半径为1。

冪級數可以定義在任意域上，取帶有絕對值的域則能探討收歛性。實解析函數與複解析函數分別對應到 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 與 ${\displaystyle \mathbb {C} }$；在數論上也考慮超度量域，如 p進數域 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}:={\widehat {{\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}}}$。

由於超度量域滿足強三角不等式 ${\displaystyle |x+y|\leq \mathrm {max} (|x|,|y|)}$，遂具備許多獨特性質，例如 ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}}$ 收斂当且仅当${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=0}$。雖然超度量分析缺乏實數或複數上的直觀，技術上卻往往簡單得多。

利用多元冪級數，可將解析函數的定義直接推廣到多變元的情形。它們是局部上形如

${\displaystyle s(x):=\sum _{I}a_{I}(x-a)^{I}}$

的函數，其中 ${\displaystyle x,a}$ 皆為向量，而 ${\displaystyle I}$ 代表多重指标。

多元解析函数有一些性质和一元解析函数相同。但是，二維以上的解析函數还有一些有趣的新性質，複解析函數的情形尤其特出。例如：

• 根据Hartogs扩张定理，二元以上的复解析函数的零点集不会是离散的。

• 柯西－黎曼方程
• 全纯函数
• 偽解析函數
• 解析延拓

• Conway, John B. . Graduate Texts in Mathematics 11 2nd. Springer-Verlag. 1978. ISBN 978-0-387-90328-6.

• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.