对应原理

取普朗克極限 ${\displaystyle h\rightarrow 0}$，猜想波函數 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 的形式為[11]^:102-103

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=Ae^{iS(\mathbf {r} ,\,t)/\hbar }}$ ，

則可從量子力學的薛丁格方程式

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+U(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}}$ ，

推導出經典物理的哈密頓-雅可比方程式

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U(\mathbf {r} )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle m}$ 是質量，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是位置 ，${\displaystyle t}$ 是時間 ，${\displaystyle S(\mathbf {r} ,\,t)}$ 是作用量，${\displaystyle \nabla ^{2}}$ 是拉普拉斯算符，${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$ 是位勢。

這意味著所有從薛丁格方程式推導出的量子行為，在普朗克極限 ${\displaystyle h\rightarrow 0}$，都會趨於經典物理行為。

普朗克常數是個基本物理常數。「恆定性」是所有基本物理常數都具有的特性。恆定性指的是基本物理常數，在不同的時間或空間，不會呈現出不同的數值。假若基本物理常數會因為時間或空間的不同而出現任何變化，這意味著宇宙存在著一種幾乎零質量的場，其會與物質耦合，這會導致自由下落的普適性被違背。[12]

物理學者尚未從做實驗發現，普朗克常數會隨著時間或空間的不同而出現任何改變，也尚未完成任何能夠改變普朗克常數的實驗，更不知道是甚麼機制給定普朗克常數其所呈現的數值。但有一點相當明確，那就是，普朗克極限 ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ 只是一種數學運算，無法實際體現，為了避免被這問題困擾，必須對每一個案例，更詳細地設定狀況，例如，對於普朗克定律案例，可以假設 ${\displaystyle h\nu }$ 超小於 ${\displaystyle kT}$，然後做近似運算。[13]^:19-21[14]^:267-268[12]

有些簡單的量子系統不能夠使用普朗克對應原理來取得有意義的經典結果，例如，玻爾模型系統等等。稍後會對玻爾模型案例進行詳細分析。[15]

按照頻率詮釋，在大量子數極限 ${\displaystyle n\gg 1}$，電子因軌道躍遷所發射的電磁輻射，其頻率與經典預測相互統計符合。以方程式表示，[8]

${\displaystyle \nu _{n\rightsquigarrow n^{\prime }}=\omega _{\tau }=\tau \omega }$；

其中，${\displaystyle n}$ 與 ${\displaystyle n^{\prime }}$ 分別是電子初態與末態的量子數，${\displaystyle \nu _{n\rightsquigarrow n^{\prime }}}$ 是電子從初態躍遷至末態所發射出的電磁輻射頻率，${\displaystyle \tau =n-n^{\prime }}$ 是初態與末態的量子數差，${\displaystyle \omega }$ 是電子運動的基本頻率，${\displaystyle \omega _{\tau }}$ 是電子的經典電磁輻射頻率．更仔細地說，是電子軌道位置函數的傅立葉級數的第 ${\displaystyle \tau }$ 次諧波的頻率。

注意到兩種預測結果的關係是統計符合。在經典物理裏，電子輻射的所有諧波組分都會一起發射出來。在量子物理裏，每一次躍遷只會發射出一個光子，因此必須用一個統計系綜的躍遷來做比較。

按照強度詮釋，在大量子數極限 ${\displaystyle n\gg 1}$，電子因軌道躍遷而發射的電磁輻射，其量子強度與經典預測相互統計符合。以方程式表示，[8]

${\displaystyle P_{n\rightsquigarrow n^{\prime }}\propto |C_{\tau }|^{2}}$；

其中，${\displaystyle P_{n\rightsquigarrow n^{\prime }}}$ 是電子從初態躍遷至末態的概率，${\displaystyle C_{\tau }}$ 是經典運動的第${\displaystyle \tau }$ 次諧波的振幅。

按照選擇定則詮釋，每一種量子躍遷對應於經典運動的一個諧波組分。更嚴格地表示，電子可以從定態 ${\displaystyle n}$ 量子躍遷至定態 ${\displaystyle n^{\prime }}$，若且惟若，其經典運動含有第 ${\displaystyle \tau }$ 次諧波 ；其中， ${\displaystyle \tau =n-n^{\prime }}$ 。[8]

玻爾最初認為選擇定則詮釋也必須遵守大量子數極限 ${\displaystyle n\gg 1}$，後來，他大膽地排除了這要求，正確地將其外推為適用於所有量子數。玻爾表示，[8]

當量子數很大時，某個躍遷的相對概率會以很簡單地方式連結經典運動的對應諧波組分的振幅。這種獨特關係意味著定態與定態之間所發生的躍遷是一種一般定律。因此，我們假定，甚至當量子數很小時，定態與定態之間躍遷的可能性關連到系統運動是否含有某個諧波組分。
— 玻爾

按照玻爾模型，電子的角動量${\displaystyle L_{n}}$與能量${\displaystyle E_{n}}$分別為[18]^:166[9]^:59-60

${\displaystyle L_{n}=n\hbar }$、

${\displaystyle E_{n}=-\ {\frac {mk^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}}$；

其中，${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$是量子數，${\displaystyle \hbar }$是約化普朗克常數，${\displaystyle m}$是電子質量，${\displaystyle k}$是庫侖常數，${\displaystyle e}$是單位電荷。

設想電子從能級為${\displaystyle E_{n}}$的初態躍遷至能級為${\displaystyle E_{n-1}}$的末態，則伴隨發射出電磁輻射的頻率${\displaystyle \nu }$為

${\displaystyle \nu ={\frac {E_{n}-E_{n-1}}{h}}={\frac {mk^{2}e^{4}}{4\pi \hbar ^{3}}}\left[{\frac {1}{(n-1)^{2}}}\ -\ {\frac {1}{n^{2}}}\right]={\frac {mk^{2}e^{4}}{4\pi \hbar ^{3}}}{\frac {2n-1}{n^{2}(n-1)^{2}}}}$。

假設取普朗克極限 ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ ，則頻率${\displaystyle \nu \rightarrow \infty }$，這是個沒有意義的結果，所以，在這裡不應該取普朗克極限。

在大量子數極限 ${\displaystyle n\gg 1}$，頻率的公式近似為

${\displaystyle \nu ={\frac {mk^{2}e^{4}}{2\pi \hbar ^{3}n^{3}}}}$。

注意到電子的移動速率 ${\displaystyle v}$ 與電子的軌道半徑 ${\displaystyle r}$ 分別為[註 1]

${\displaystyle v=\left({\frac {ke^{2}}{mr}}\right)^{1/2}}$、

${\displaystyle r={\frac {n\hbar }{mv}}}$。

將這兩個公式帶入頻率的近似公式，則可得到經典的電子公轉頻率：

${\displaystyle \nu ={\frac {v}{2\pi r}}}$。

這結果符合對應原理。

紅線、藍線分別是經典概率密度函數 ${\displaystyle P_{c}(x)}$ 與量子概率密度函數${\displaystyle |\psi _{n}(x)|^{2}}$ 。

設想一個質量為的粒子正在進行簡諧運動，這粒子的經典概率密度為[9]^:36-38[16]

${\displaystyle P_{c}(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}}}$；

其中，${\displaystyle x}$與${\displaystyle x_{0}}$分別為位移與最大位移。

在量子力學裏，假設這個粒子的量子數是${\displaystyle n}$的能量本徵態為${\displaystyle \psi _{n}(x)}$。

如右圖所示，經典概率密度函數${\displaystyle P_{c}(x)}$與量子概率密度函數${\displaystyle |\psi _{n}(x)|^{2}}$相差很大。然而，在大量子數極限，取局域平均值，則可得到等式：

${\displaystyle P_{c}(x)=\lim _{n\gg 1}\langle |\psi _{n}(x)|^{2}\rangle =\lim _{\epsilon \gg 1}\int _{x-\epsilon }^{x+\epsilon }|\psi _{n}(y)|^{2}\mathrm {d} y}$；

其中，量子數${\displaystyle n}$越大，則區間${\displaystyle \epsilon }$越小。

所以，強度詮釋適用於諧振子問題。