哈密頓-雅可比方程式

假若，可以找到一個第二型生成函數 ${\displaystyle S=G_{2}}$ 。這生成函數使新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ 恆等於 0 。稱這個生成函數 ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$ 為哈密頓主函數。那麼，新哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ 所有的偏導數都等於 0 。哈密頓方程也變得非常的簡單：

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0}$ 。

這樣，新正則坐標都成為運動常數 ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},\ \ldots ,\ a_{N})}$ 、 ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}=(b_{1},\ \ldots ,\ b_{N})}$ ：

${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {a}}}$ ，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {b}}}$ 。

由於 ${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}}$ ，代入舊哈密頓量，則可得到哈密頓-雅可比方程：

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},\ t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$ 。

解析問題的重要關鍵是必須找到哈密頓主函數 ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}},\ t)}$ 的方程式。一旦找到這方程式，因為

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}},\ t)}{\partial \mathbf {q} }}}$ ，(1)

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {b}}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}},\ t)}{\partial {\boldsymbol {a}}}}}$ 。(2)

給予 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ 與 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 在時間 ${\displaystyle t=t_{0}}$ 的初始值， ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$ 與 ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ，可以求出運動常數 ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ，${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$ 。知道這兩組運動常數，立刻可以得到舊正則坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ 與 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 隨時間的演變。

假設，哈密頓量不顯含時：${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0}$ 。那麼，

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0}$ 。

哈密頓量是一個運動常數，標記為 ${\displaystyle a_{\mathcal {H}}}$ ：

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}$ ，

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}={\mathcal {K}}-{\mathcal {H}}=-a_{\mathcal {H}}}$ 。

哈密頓主函數可以分離成兩部分：

${\displaystyle S=W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})-a_{\mathcal {H}}t}$ ；

其中，不含時間的函數 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})}$ 稱為哈密頓特徵函數。

思考一個新的正則變換。設定哈密頓特徵函數 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})}$ 為一個第二型生成函數 ${\displaystyle G_{2}}$ ：

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}}$ ，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {a}}}}}$ 。

那麼，哈密頓-雅可比方程變為

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }})=a_{\mathcal {H}}}$ 。

由於哈密頓特徵函數不顯含時，新舊哈密頓量的關係為

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}-a_{\mathcal {H}}}$ ；

新正則坐標隨時間的導數變為

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!}$ ，

${\displaystyle {\dot {Q}}_{1}={\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial a_{1}}}=1}$ ，${\displaystyle \qquad \qquad }$設定 ${\displaystyle a_{1}}$ 為 ${\displaystyle a_{\mathcal {H}}}$ ，

${\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial a_{i}}}=0}$ ，${\displaystyle \qquad \qquad }$${\displaystyle i>1}$ 。

所以，新正則坐標變為

${\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {a}}}$ ，

${\displaystyle Q_{1}=t+b_{1}}$ ，

${\displaystyle Q_{i}=b_{i},\qquad \qquad I>1}$ 。

假若，能找到哈密頓特徵函數 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ {\boldsymbol {a}})}$ ，給予舊廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ 與舊廣義動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 在時間 ${\displaystyle t=t_{0}}$ 的初始值， ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$ 與 ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ，依照前面所述方法，就可以求出舊正則坐標隨時間的演變。

採用球坐標 ${\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )}$ ，假設一個物理系統的哈密頓量為

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\ \theta ,\ \phi )}$ ；

其中，${\displaystyle (p_{r},\ p_{\theta },\ p_{\phi })}$ 是廣義動量，${\displaystyle U}$ 為位勢函數，不含時間。

那麼，哈密頓-雅可比方程可以表達為

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \theta }}\right)^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {\partial S}{\partial \phi }}\right)^{2}\right]+U(r,\ \theta ,\ \phi )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle S}$ 是哈密頓主函數。

假若，位勢函數 ${\displaystyle U(r,\ \theta ,\ \phi )}$ 的形式可以進一步設定為

${\displaystyle U(r,\ \theta ,\ \phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}}$ ；

其中， ${\displaystyle U_{r}(r)}$ 、 ${\displaystyle U_{\theta }(\theta )}$ 、 ${\displaystyle U_{\phi }(\phi )}$ ，都是任意函數；則 HJE 是完全可分的。將完全分離的解答 ${\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-a_{\mathcal {H}}t}$ 代入 HJE ，會得到方程式

${\displaystyle \left[\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+2mU_{r}(r)\right]+{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=2ma_{\mathcal {H}}}$ 。

變數 ${\displaystyle \phi }$ 只出現於公式左手邊的第三個方括弧內；其它變數都不出現於公式的這部分。所以，可以將這部分孤立出來，成為一個常微分方程：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}$ ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{\phi }}$ 是運動常數。

簡化的 HJE 跟 ${\displaystyle \phi }$ 無關：

${\displaystyle \left[\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+2mU_{r}(r)\right]+{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=2ma_{\mathcal {H}}}$ 。

同樣地，可以將變數 ${\displaystyle \theta }$ 出現的部分孤立出來，成為一個常微分方程：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }}$ ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$ 是運動常數。

剩下的是一個徑向距離函數 ${\displaystyle S_{r}}$ 的常微分方程。：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+2mU_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{r^{2}}}=2ma_{\mathcal {H}}}$ 。

這樣，可以完全地分離 HJE 。

採用橢圓柱坐標 ${\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ z)}$ ，假設假設一個物理系統的哈密頓量為

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\ \nu ,\ z)}$

其中，${\displaystyle (p_{\mu },\ p_{\nu },\ p_{z})}$ 是廣義動量，${\displaystyle U}$ 為位勢函數，不含時間。

那麼，哈密頓-雅可比方程可以表達為

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2ma^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial \mu }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial \nu }}\right)^{2}\right]+{\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}+U(\mu ,\ \nu ,\ z)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$ 。

假若，位勢函數 ${\displaystyle U(\mu ,\ \nu ,\ z)}$ 的形式可以進一步設定為

${\displaystyle U(\mu ,\ \nu ,\ z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}$ ；

其中，${\displaystyle U_{\mu }(\mu )}$ 、 ${\displaystyle U_{\nu }(\nu )}$ 、 ${\displaystyle U_{z}(z)}$ ，都是任意函數；則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 ${\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-a_{\mathcal {H}}t}$ 。將這猜想公式代入 HJE ，

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2ma^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )\right]=a_{\mathcal {H}}}$ 。

公式左手邊的前兩個項目只跟變量 ${\displaystyle z}$ 有關；其它的項目都跟 ${\displaystyle z}$ 無關。所以，可以將那兩個項目分離出來，成為一個常微分方程：

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$ ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{z}}$ 是運動常數。

簡化的 HJE 跟 ${\displaystyle z}$ 有關：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(a_{\mathcal {H}}-\Gamma _{z}\right)}$ 。

這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}$ ，

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)\sin ^{2}\nu =-\Gamma _{\mu }}$ 。

其中，${\displaystyle \Gamma _{\mu }}$ 是運動常數。

這樣，可以完全地分離 HJE 。

採用拋物柱面坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ ，假設假設一個物理系統的哈密頓量為

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ ；

其中，${\displaystyle (p_{\sigma },\ p_{\tau },\ p_{z})}$ 是廣義動量，${\displaystyle U}$ 為位勢函數，不含時間。

那麼，哈密頓-雅可比方程可以表達為

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial \sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial \tau }}\right)^{2}\right]+{\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}+U(\sigma ,\ \tau ,\ z)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$ 。

假若，位勢函數 ${\displaystyle U(\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 的形式可以進一步設定為

${\displaystyle U(\sigma ,\ \tau ,\ z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}$ ；

其中，${\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )}$ 、 ${\displaystyle U_{\tau }(\tau )}$ 、 ${\displaystyle U_{z}(z)}$ ，都是任意函數；則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 ${\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-a_{\mathcal {H}}t}$ 。將這猜想公式代入 HJE ，

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=a_{\mathcal {H}}}$ 。

公式左手邊的前兩個項目只跟變量 ${\displaystyle z}$ 有關；其它的項目都跟 ${\displaystyle z}$ 無關。所以，可以將那兩個項目分離出來，成為一個常微分方程：

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$ ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{z}}$ 是運動常數。

簡化的HJE跟 ${\displaystyle z}$ 無關：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(a_{\mathcal {H}}-\Gamma _{z}\right)}$ 。

這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程：

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)=\Gamma _{\sigma }}$ ，

${\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-a_{\mathcal {H}}\right)=-\Gamma _{\sigma }}$ ；

其中，${\displaystyle \Gamma _{\sigma }}$ 是運動常數。

這樣，可以完全地分離HJE。

設想一個粒子，運動於一個保守的位勢 ${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$ ，它的哈密頓-雅可比方程為[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle S(\mathbf {r} ,\ {\boldsymbol {a}};\ t)}$ 是哈密頓主函數。

由於位勢與時間無關，哈密頓主函數可以分離成兩部分：

${\displaystyle S=W(\mathbf {r} ,\ {\boldsymbol {a}})-Et}$ ；

其中，不含時的函數 ${\displaystyle W(\mathbf {r} ,\ {\boldsymbol {a}})}$ 是哈密頓特徵函數，${\displaystyle E}$ 是能量。

將哈密頓主函數的公式代入哈密頓-雅可比方程，稍加運算，可以得到

${\displaystyle |{\boldsymbol {\nabla }}S|={\sqrt {2m(E-U)}}}$ ；

哈密頓主函數對於時間的全導數是

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$ 。

哈密頓主函數 ${\displaystyle S}$ 的常數等值曲面 ${\displaystyle \sigma _{0}}$ 在空間移動的方程式為

${\displaystyle 0={\frac {\partial S}{\partial t}}+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=-E+\nabla S\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$ 。

所以，在設定等值曲面的正負面後，${\displaystyle \sigma _{0}}$ 朝著法線方向移動的速度 ${\displaystyle u}$ 是

${\displaystyle u={\frac {dr}{dt}}={\frac {E}{|\nabla S|}}={\frac {E}{\sqrt {2m(E-U)}}}}$ 。

這速度 ${\displaystyle u}$ 是相速度，而不是粒子的移動速度 ${\displaystyle v}$ ：

${\displaystyle v={\frac {|{\boldsymbol {\nabla }}S|}{m}}={\sqrt {\frac {2(E-U)}{m}}}}$ 。

想像 ${\displaystyle \sigma _{0}}$ 為一個相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，試著給予粒子一個相位與 ${\displaystyle S}$ 成比例的波函數：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=A(\mathbf {r} )e^{iS/\kappa }}$ ；

其中，${\displaystyle \kappa }$ 是常數，${\displaystyle A(\mathbf {r} )}$ 是跟位置有關的係數函數。

將哈密頓主函數的公式代入 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 波函數，

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\kappa }}$ 。

注意到 ${\displaystyle E/\kappa }$ 的因次必須是頻率，薛丁格突然想到愛因斯坦的光電效應理論 ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ ；其中，${\displaystyle \hbar }$ 是約化普朗克常數，${\displaystyle \omega }$ 是角頻率。他嘗試設定 ${\displaystyle \kappa =\hbar }$ ，粒子的波函數 ${\displaystyle \Psi }$ 變為

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=A(\mathbf {r} )e^{i(W-Et)/\hbar }=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}$ ；

其中，${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{iW(\mathbf {r} )/\hbar }}$ 。

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 的波動方程式為

${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0}$ 。

將 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}$ 波函數代入波動方程式， 經過一番運算，得到

${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}u^{2}}}\Psi =\nabla ^{2}\Psi -{\frac {2m(E-U)}{\hbar ^{2}}}\Psi =0}$ 。

注意到 ${\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}$ 。稍加編排，可以推導出含時薛丁格方程式：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+U\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}}$ 。

逆反過來，從薛丁格方程式開始：[3]^:102-103

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+U\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}}$ 。

猜想 ${\displaystyle \Psi }$ 的形式為

${\displaystyle \Psi =\psi (\mathbf {r} )e^{iS(\mathbf {r} ,\,t)/\hbar }}$ 。

將 ${\displaystyle \Psi }$ 代入薛丁格方程式，稍加運算，可以得到

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S}$ 。

取經典極限，${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$，則可得到哈密頓-雅可比方程：

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\nabla }}S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$ 。

由於這取極限的動作，在希爾伯特空間裏對於態向量的描述改變為在相空間裏對於粒子位置與動量的描述。薛丁格方程屬於線性方程，假若${\displaystyle \chi _{1}}$、${\displaystyle \chi _{2}}$皆是薛丁格方程的解答，則它們的線性疊加${\displaystyle c_{1}\chi _{1}+c_{2}\chi _{2}}$必定也是解答，其中${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$皆是複係數。哈密頓-雅可比方程屬於非線性方程，假若${\displaystyle f_{1}}$、${\displaystyle f_{2}}$皆是哈密頓-雅可比方程的解答，則它們的線性疊加${\displaystyle c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}}$必定不是解答。這意味著，在量子力學可以觀察得到的量子疊加現象，無法出現在經典力學。但是，簡單地推論，經典力學應是量子力學的極限案例，為什麼量子疊加現象無法出現於經典力學裏？這不僅僅是個理論問題，在實驗室裏，時常可以觀察到微觀粒子呈現出量子疊加現象，為什麼無法觀察到宏觀物體呈現出同樣的現象[4]^:第1A節？更詳盡內容，請參閱條目量子退相干。