小世界網路

小世界网络的概念是随着对复杂网络的研究而出现的。“网络”其实就是数学中图论研究的图，由一群顶点以及它们之间所连的边构成。在网络理论中则换一套说法，用“节点”代替“顶点”，用“连结”代替“边”。复杂网络的概念，是用来描述由大量节点以及这些节点之间错综复杂的联系所构成的网络。这样的网络会出现在简单网络中没有的特殊拓扑特性。

自二十世纪60年代开始，对复杂网络的研究主要集中在随机网络上。随机网络，又称随机图，是指通过随机过程制造出的复杂网络。最典型的随机网络是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼提出的ER随机图。ER模型是基于一种“自然”的构造方法：假设有${\displaystyle n}$个节点，并假设每对节点之间相连的可能性都是常数${\displaystyle 0<p<1}$。这样构造出的网络就是ER模型网络。科学家们最初使用这种模型来解释现实生活中的网络。

米尔格伦实验、凯文贝肯游戏、埃尔德什数以及一些类似的实验证明了，在现实世界里的一些网络中，尽管节点数量庞大，但从一点出发，其实只需要经过仅仅几步转折，就能到达任一个节点。1998年，美国康奈尔大学的博士生邓肯·瓦茨（Duncan Watts）和他的导师斯蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz）发表了一篇名为《小世界网络的集体动力学》（Collective dynamics of the 'Small World' networks）的论文[6]。他们把这种现象歸類為某一类复杂网络的特性。他們注意到复杂网络可以按兩個獨立的結構特性分類，就是集聚系数和节点间的平均路径长度。

平均路径长度

平均路径长度也称为特征路径长度或平均最短路径长度，指的是一个网络中两点之间最短路径长度（或称距离）的平均值。从一个节点${\displaystyle s_{i}}$出发，经过与它相连的节点，逐步“走”到另一个节点${\displaystyle s_{j}}$所经过的路途，称为两点间的路径。其中最短的路径也称为两点间的距离，记作${\displaystyle \operatorname {dist} (i,j)}$。而平均路径长度定义为：

${\displaystyle \operatorname {dist} _{c}={\frac {2}{N(N+1)}}\sum _{i\leqslant N}\sum _{j\geqslant i}\operatorname {dist} (i,j)}$

这其中${\displaystyle N}$是节点数目，并定义节点到自身的最短路径长度为0。如果不计算到自身的距离，那么平均路径长度的定义就变成[7]：

${\displaystyle \operatorname {dist} _{c}={\frac {2}{N(N-1)}}\sum _{i\leqslant N}\sum _{j>i}\operatorname {dist} (i,j)}$

介于随机与规则之间

对于纯粹的规则网络，当其中连接数量接近饱和时，集聚系数很高，平均路径长度也十分短。例如完全耦合网络（即完全图），每两个节点之间都相连，所以集聚系数是1，平均路径长度是1。然而，现实中的复杂网络是稀疏的，连接的个数只是节点数的若干倍（${\displaystyle {\mathcal {O}}(N)}$），远远不到饱和。如果考虑将节点排列成正多边形，每各节点都只与距离它最近的 ${\displaystyle 2K}$ 个节点相连，那么在${\displaystyle K}$比较大，但仍然保证${\displaystyle K<{\frac {2}{3}}N}$时，其集聚系数为：

${\displaystyle C(i)={\frac {3(K-2)}{4(K-1)}}\approx {\frac {3}{4}}}$

虽然能保持高集聚系数，但平均路径长度为：

${\displaystyle \operatorname {l} _{avg}\approx {\frac {N}{4K}}={\mathcal {O}}(N)}$

平均路径长度与节点数成正比。

純粹的随机网络（如ER随机网络模型）有着很小的平均路径长度，但同時集聚系数也很小。可是现实中的不少網路雖然有很小的平均路徑長度，但卻也有著比隨機網路高出相當多的集聚系数。因此瓦茨和斯特罗加茨认为，现实中的复杂网络是一种介于规则网络和随机网络之间的网络。他们把这种特性称为现实网络的小世界特性，就是：

1. 有很小的平均路径长度：在节点数${\displaystyle N}$很大时，平均路径长度近似于

   ${\displaystyle \operatorname {dist} _{c}\propto \log(N)}$[10]

2. 有很高的集聚系数：集聚系数大约和规则网络在同一数量级，远大于随机网络的集聚系数[11]。

在1998年的同一篇論文中，瓦茨和斯特罗加茨提出了一个模型来解释小世界网络，后来被称为瓦茨-斯特罗加茨模型（简称WS模型）。WS模型是基于两人的一个假设：小世界模型是介于规则网络和随机网络之间的网络。因此模型从一个完全的规则网络出发，以一定的概率将网络中的连接打乱重连。具体的构造如下：

1. 首先从一个规则的网络开始。这个网络中的${\displaystyle N}$个节点排成正多边形，每个节点都与离它最近的${\displaystyle 2K}$个节点相连。其中${\displaystyle K}$是一个远小于${\displaystyle N}$的正整数。
2. 选择网络中的一个节点，从它开始（它自己是1号节点）將所有节点顺时针编号，再将每个节点连出的连接也按顺时针排序。然后，1号节点的第1条连接会有${\displaystyle 0<p<1}$的概率被重连。重连方式如下：保持1号节点这一端不变，将连接的另一端随机换成网络里的另一个节点，但不能使得两个节点之间有多于1个连接。
3. 重连之后，对2号、3号节点也做同样的事（如果这其中有连接已经有过重连的机会，就不再重复），直到绕完一圈为止。
4. 再次从1号节点的第2条连接开始，重复第2个步骤和第3个步骤，直到绕完一圈为止。
5. 再次从1号节点开始，重复第4个步骤，直到所有的连接都被执行过第2个步骤（重连的步骤）。

由于${\displaystyle NK}$个连接里每个连接都恰好有一次重连的机会，所以这个过程最后总会结束。最后得到的网络称为WS模型网络[6][12]。

WS模型的集聚系数C（红色）与平均路径长度L(蓝色)随${\displaystyle p}$变化的图像

如果概率${\displaystyle p=0}$，那么重连永远不会发生，最后得到的是原来的规则网络。如果概率${\displaystyle p=1}$，那么所有的连接都被重连了一次，最后得到的是一个完全的随机网络。而对于概率${\displaystyle 0<p<1}$的时候，瓦茨和斯特罗加茨考察了集聚系数和平均路径长度与${\displaystyle p}$的关系，将这两者看作是关于${\displaystyle p}$的函数：集聚系数${\displaystyle C=C(p)}$，平均路径长度${\displaystyle \operatorname {l} _{avg}=\operatorname {l} _{avg}(p)}$[6]。他们发现，在${\displaystyle p}$从0变到1的过程中，${\displaystyle \operatorname {l} _{avg}(p)}$下降得很快，而${\displaystyle C(p)}$下降的比较慢。右侧是演示这个关系的一个示意图。图中的横轴是${\displaystyle p}$（使用对数坐标轴表示），纵轴是比值（介乎0与1之间）。蓝色曲线表示${\displaystyle \operatorname {l} _{avg}(p)}$与${\displaystyle \operatorname {l} _{avg}(0)}$之比，红色曲线表示${\displaystyle C(p)}$与${\displaystyle C(0)}$之比。从右图可以看到，蓝色曲线很快就逐渐下降到0.2以下，而红色曲线则直到超过${\displaystyle p=10^{-1}}$后才开始有显著下降。当${\displaystyle p=10^{-1}}$的时候，${\displaystyle C(p)}$大概还有${\displaystyle C(0)}$八成左右，但${\displaystyle \operatorname {l} _{avg}(p)}$只占${\displaystyle \operatorname {l} _{avg}(0)}$的不到百分之5了。所以对于很小的${\displaystyle p}$，${\displaystyle \operatorname {l} _{avg}(p)}$可以很小，但${\displaystyle C(p)}$可以很大。这正是小世界网络的特征[6][13]。

更精确的计算[14]指出WS模型的集聚系数是：

${\displaystyle C(p)={\frac {3(K-1)}{2(2K-1)}}(1-p)^{3}}$

而平均路径长度则尚未有精确表达式[15]。

不久之后，瓦茨又与英国物理学家提出了另一个稍有不同的模型，称为纽曼-瓦茨模型（NW模型）。其中将重连变成添加链接[16]。具体的构造方法是：第一步与WS模型相同，都是先建立一个规则网络；然后随机选择一对尚未连接的节点，设定有${\displaystyle 0<p<1}$的概率产生连接。这样重复一定次数，但不允许两节点之间有多于一条连接，也不允许节点与自身相连。

纽曼-瓦茨模型在理论分析上比瓦茨-斯特罗加茨模型要简单一点。当 ${\displaystyle p}$ 很小而 ${\displaystyle N}$ 很大的时候，这两个模型本质上是一样的[17]。

由于小世界网络具有高集聚系数，它的结构中不可避免地會有許多團（彼此之间两两相连的一小群节点）以及只比團差幾個连接的节点群。另一方面，任兩個結點大多會以至少一條短路徑連接著。這是要求有小的最短路徑長度平均值的結果。此外，小世界網路常連帶地具有一些性質，不過這些性質並不是作為這類網路非有不可的。很典型的是這類網路常常会出现“樞紐”（与很多节点都相连的节点）。

• 无尺度网络
• 可导航网络
• ER随机图

• 汪小帆,李翔,陈关荣. . 清华大学出版社. 2006. ISBN 9787302125051 （中文）.
• 黄萍,张许杰,刘刚. . 情报杂志 （中文）.
• Mark E. J. Newman,Duncan J. Watts. . Princeton University Press. 2006. ISBN 978-0691113579 （英语）.
• Stefano Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D. Hwang. . Volume 424, No 4-5 (2006.02). Elsevier Physics Report. doi:10.1016/j.physrep.2005.10.009 （英语）.
• Richard Durrett. . Cambridge University Press. 2007. ISBN 978-0-521-86656-9 （英语）.