狄拉克符号

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\\\vdots \\\psi _{N}\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*},&\psi _{2}^{*},&\psi _{3}^{*},&\psi _{4}^{*},&\cdots ,&\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$ （${\displaystyle \delta _{ij}}$为克罗内克函數）

相同的态矢量内积为：${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}}$。

因為每個右矢是複希爾伯特空間中的一個向量，而每個右矢-左矢關係是內積，而直接地可以得到如下的操作方式：

• 給定任何左矢${\displaystyle \langle \phi |}$、右矢${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$以及${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$，還有複數c₁及c₂，則既然左矢是線性泛函，根據線性泛函的加法與純量乘法的定義，

${\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle }$。

• 給定任何右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$、左矢${\displaystyle \langle \phi _{1}|}$以及${\displaystyle \langle \phi _{2}|}$，還有複數c₁及c₂，則既然右矢是線性泛函，

${\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle }$。

• 給定任何右矢${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$及${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$，還有複數c₁及c₂，根據內積的性質（其中c*代表c的複數共軛），

${\displaystyle c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$與${\displaystyle c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|}$對偶。

• 給定任何左矢${\displaystyle \langle \phi |}$及右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$，內積的一個公理性質指出

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}}$。

• 給定任何算符${\displaystyle X}$、左矢${\displaystyle \langle \phi |}$及右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$，它們之間的合法相乘滿足乘法結合公理，例如，[2]^:16-17

${\displaystyle (|\omega \rangle \langle \phi |)\ |\psi \rangle =|\omega \rangle \ (\langle \phi |\psi \rangle )}$、

${\displaystyle \langle \phi |\ (X|\psi \rangle )=(\langle \phi |X)\ |\psi \rangle }$。

• 量子態
• 内积空间
• 角動量圖