平稳过程

如果有一個訊號${\displaystyle X}$對於所有${\displaystyle k}$都滿足以下條件，則它就是一個平穩過程：

${\displaystyle p(x_{n+k},n+k,x_{m+k},m+k)=p(x_{n},n,x_{m},m),}$

其中，${\displaystyle p(x_{n},n,x_{m},m)}$表示訊號在時刻${\displaystyle m}$取值${\displaystyle x_{m}}$，且時刻${\displaystyle n}$取值${\displaystyle x_{n}}$的概率。也就是說，${\displaystyle X_{n}}$和${\displaystyle X_{m}}$的聯合機率分布，只和${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$的時間差有關，和其他參數都沒有關係。

另外，上述對於平穩過程的定義，在${\displaystyle m}$等於${\displaystyle n}$的情況下，也同樣會滿足上述情況，因此，如果是一個平穩隨機過程的話，應該也滿足以下條件：

${\displaystyle p(x_{n+k},n+k)=p(x_{n},n),}$

也就是說，一個平穩過程的機率密度函數（PDF）在任意時間點${\displaystyle n}$都是相同的，也就是說，這會是一個非時變函數，即與當下時間點沒有關係（）。

因此，根據上面的定義，可以推導出，對於平穩過程的自相關函數也只和時間差有關，和本身的時間點沒有關係。如果假設時間差是${\displaystyle k}$，則可以得到公式如下：

${\displaystyle \phi _{XX}(n+k,n)=\phi _{XX}(k)=\mathbb {E} (X_{n+k}X_{n}^{*}).}$

此外，藉由這些公式也可以得知，平穩過程的平均數和變異數也都和時間點${\displaystyle n}$沒有關係，在任意時間點的值都是相同的，可以表示成：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X}&=\mu _{X_{n}}=\mathbb {E} (X_{n}),\\\sigma _{X}^{2}&=\mathbb {E} ((X_{n}-\mu _{n})^{2}).\end{aligned}}}$

舉例來說，白噪音，又稱為白雜訊（white noise）就是一個典型的平穩過程，而且它的時間是連續的，並且功率譜密度是常數，也就是說，它的每個頻段的功率是一樣的。雖然說鐃鈸的敲擊如果只有一下，則因為是能量會隨著時間衰減，而不是一個平穩過程，然而當它被打擊時，是有可能產生白雜訊的響應，假設它是在一個均勻穩定的（Poisson process）下敲擊的話，這個訊號則會形成白雜訊。

而如果是離散時間的平穩過程，同時又是在離散空間樣本下的話，則是有像是Bernoulli scheme的例子。

而在離散時間又是在連續空間樣本之下的話，則是有自回歸滑動平均模型（Autoregressive moving average model），這是研究時間序列的重要方法，是由自迴歸模型（AR模型）與滑動平均模型（MA模型）為基礎所「混合」構成。

此外，還可以假設Y是任意的隨機變數（Random variable），則同時定義一個時間數列{X_t}，對於所有的t，有以下性質：

X_t = Y

而{X_t}就是一個平穩時間數列。

信号处理中常用的弱平稳也被称为广义平稳（Wide-sense stationary,WSS）或者协方差平稳。WSS 随机过程仅仅要求一阶和二阶矩不随时间变化。

这样，一个 WSS 的连续时间随机过程 x(t) 有下述数学期望函数

1. ${\displaystyle \mathbb {E} \{x(t)\}=m_{x}(t)=m_{x}(t+\tau )\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R} }$

与相关函数

2. ${\displaystyle \mathbb {E} \{x(t_{1})x(t_{2})\}=R_{x}(t_{1},t_{2})=R_{x}(t_{1}+\tau ,t_{2}+\tau )=R_{x}(t_{1}-t_{2},0)\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R} .}$

第一个属性表明数学期望函数 m_x(t) 必须是常数。第二个属性表明相关函数仅仅与 ${\displaystyle t_{1}}$ 和 ${\displaystyle t_{2}}$ 之间的差值相关，并且可以仅仅用一个变量而不是两个变量来表示。这样，

${\displaystyle \,\!R_{x}(t_{1}-t_{2},0),}$

通常可以简化为

${\displaystyle \,\!R_{x}(\tau )}$，其中：${\displaystyle \,\!\tau =t_{1}-t_{2}}$。

当使用线性、时不变（线性时不变系统）滤波器处理广义平稳随机信号的时候，将相关函数作为线性算子是很有帮助的。由于它是循环矩阵运算，只与两个变量之间的差值有关，所以它的特征函数是傅里叶级数复数指数函数。另外，由于线性时不变系统算子也是复指数函数，广义平稳随机信号的线性非时变处理非常易于操作——所有的运算都可以在频域进行。另外，根據線性非時變系統的特徵，也可以知道，當輸入訊號是一個廣義平穩過程時，輸出訊號也會是一個廣義平穩過程。因此，广义平稳假设在信号处理算法中得到了广泛应用。

• 循环平稳过程