平行移动

给定一个共变导数 ∇，沿着 γ 的平行移动由积分 ${\displaystyle \scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}}$ 得到。反之，如果有一个合适的平行移动概念，那么相应的联络可通过求导获得。这个方法本质上属于Knebelman (1951)，参见Guggenheimer (1977)。Lumiste (2001) 也采取这种方式。

考虑对流形上每条曲线 γ 分配一些映射

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}\ ,}$

使得

1. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id}$，E_γ(s) 的恒同变换。
2. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}\ .}$
3. γ 上的 Γ “光滑”依赖于 s 与 t。

在条件 3. 中光滑性的概念有点难以确定（见下面纤维丛平行移动的讨论）。特别地，现代作者（比如 Kobayashi 与 Nomizu）通常将联络的平行移动视为从其它意义下的联络中得来，这样光滑性更容易表述。

尽管如此，给了这样一种平行移动的规则，可以复原 E 上关联的无穷小联络。令 γ 是 M 中一条光滑曲线，起点为 γ(0)，初始切向量 X = γ′(0)。如果 V 是 E 在 γ 上的一个截面，则令

${\displaystyle \nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}\ .}$

这就在 E 上定义了关联于 Γ 的无穷小联络 ∇。从这个无穷小联络我们又重新得到相同的平行移动 Γ。

设 M 是一个光滑流形，则 M 的切丛上一个联络称为仿射联络，确定了一类曲线称为（仿射）测地线（Kobayashi & Nomizu 1996，Volume 1, Chapter III）。一条光滑曲线 γ: I → M 是一条仿射测地线如果 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ 是沿着 ${\displaystyle \gamma }$ 的平行移动，即

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t)\ .}$

取关于时间的导数，得到更熟悉的形式

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0\ .}$

如果 ∇ 是一个度量张量，那么仿射测地线便是通常黎曼几何中的测地线且是局部距离最小曲线。更准确地，首先注意到如果 γ: I → M（这里 I 是一个开区间），是一条测地线，那么${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ 的模长在 I 中为常数。事实上有

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle {\bigg |}_{t=0}=2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0\ .}$

这样，如果 A 是 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ 的模长，则在这个度量下，曲线 γ 上“足够接近”的两点 γ(t₁) 与 γ(t₂) 的距离由

${\displaystyle {\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|}$

给出。上面的公式对不是足够接近的两点可能不成立，因为测地线在整体上可能不是最小曲线，比如可能盘绕在流形上（例如球面）。