弗罗贝尼乌斯流形

令M为光滑流形。M上的仿射平面结构是指逐点扩张切丛TM、其切括号消失的向量空间的层 T^f。

局部例子：考虑M的表上的坐标向量场。若能将这样的向量场粘合到表的覆盖族中，则流形是仿射平面结构。

进一步给出M上的黎曼度量g。若对所有平面向量场X、Y，${\displaystyle g(X,\ Y)}$都是局部为常数的，那么就与平面结构相容。

当且仅当黎曼流形的曲率张量在任何地方都为0，才具有相容的仿射平面结构。

TM上的交换积*族等价于${\displaystyle s^{2}(T^{*}M)\otimes TM}$的一个剖面A，通过

${\displaystyle X*Y=A(X,Y).\,}$

此外还需要属性

${\displaystyle g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z).\,}$

于是组合g^#∘A是对称3张量。

这就意味着具有常数积的线性弗罗贝尼乌斯流形${\displaystyle (M,\ g,\ *)}$是弗罗贝尼乌斯代数M。

给定${\displaystyle (g,\ T^{f},\ A)}$，则局部势Φ是局部光滑函数，使得对所有向量场X、Y、Z，有

${\displaystyle g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]].}$

弗罗贝尼乌斯流形${\displaystyle (M,\ g,\ *)}$现在是平坦黎曼流形${\displaystyle (M,\ g)}$，其对称3张量A在任何地方都有局部势，且是结合的。

积*的结合性等价于局部势Φ中的下列二次偏微分方程：

${\displaystyle \Phi _{,abe}g^{ef}\Phi _{,cdf}=\Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,}$

当中隐含了爱因斯坦求和约定，${\displaystyle \Phi _{,a}}$表示Φ函数对坐标矢量场的偏导数${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$，已经假定后者是平坦的；${\displaystyle g^{ef}}$是度量的系数之逆。

于是，方程称作结合性方程，或威滕-迪杰格拉夫-韦尔兰德-韦尔兰德（Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde，WDVV）方程。

除了弗罗贝尼乌斯代数外，量子上同调中也有些例子。比如，给定半正定辛流形${\displaystyle (M,\ \omega )}$，则在诺维科夫环在C上的偶量子上同调${\displaystyle {\rm {QH}}^{\rm {even}}(M,\ \omega )}$存在0的开邻域U，同时U中a的大量子积${\displaystyle *_{a}}$是解析的。现在U连同相交形式${\displaystyle g=<-,\ ->}$是（复）弗罗贝尼乌斯流形。

弗罗贝尼乌斯流形的第二大类例子来自奇异点理论。比如，孤立奇异点的最小变形空间具有弗罗贝尼乌斯流形结构，其也与斋藤恭司的原形式有关。

2. Yu.I. Manin, S.A. Merkulov: Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomology of P^r （页面存档备份，存于）, Topol. Methods in Nonlinear Analysis 9 (1997), pp. 107–161