弗罗贝尼乌斯代数

弗罗贝尼乌斯代数上的积和余积可解释为(1+1)维拓扑量子场论，应用于裤面。

最近有人发现，它们在拓扑量子场论的代数处理和公理基础中发挥着重要作用。交换弗罗贝尼乌斯代数唯一确定了（同构意义上）(1+1)维拓扑量子场论。更准确地说，交换弗罗贝尼乌斯${\displaystyle K}$代数范畴等价于从${\displaystyle 2-{\textbf {Cob}}}$（1维流形间的2维配边的范畴）到${\displaystyle {\textbf {Vect}}_{K}}$（${\displaystyle K}$上的向量空间的范畴）的对称强幺半函子范畴。 拓扑量子场论和弗罗贝尼乌斯代数之间的对应如下：

• 1维流形是圆的不交并：拓扑量子场论将向量空间与圆联系起来，将向量空间的张量积与圆的不交并联系起来；
• 拓扑量子场论将流形间的每个配边与向量空间之间的映射联系起来（函子式地）；
• 与裤面（1个圆和2个圆之间的配边）相关联的映射给出了积射${\displaystyle V\otimes V\to V}$或余积射${\displaystyle V\to V\otimes V}$，取决于边界成分的分组方式是交换还是余交换；
• 根据边界分组方式的不同，与圆盘相关联的映射给出了余单位（迹）或单位（标量）。

弗罗贝尼乌斯代数及(1+1)维拓扑量子场论的这种关系可用来解释科瓦诺夫对琼斯多项式的分类。[6][7]

令B为与酉结合环A有同样单位元的子环。这也称作环扩张A | B，满足以下条件的环扩张称作弗罗贝尼乌斯扩张：

• ${\displaystyle \forall b,\ c\in B,\ a\in A}$，有线性映射${\displaystyle E:\ A\to B}$满足双模条件${\displaystyle E(bac)=bE(a)c}$。
• ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n},\ \{y_{i}\}_{i=1}^{n}\in A}$，使得对${\displaystyle \forall a\in A}$都有：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}E(ax_{i})y_{i}=a=\sum _{i=1}^{n}x_{i}E(y_{i}a)}$

映射E也称作弗罗贝尼乌斯同态，元素${\displaystyle x_{i},y_{i}}$称作对偶基。（可给出弗罗贝尼乌斯扩张的等价定义：B-B双模范畴中的弗罗贝尼乌斯代数-共代数对象，刚才的等式变成了余单位E的余单位方程。）

例如，交换环K上的弗罗贝尼乌斯代数A，配备结合非退化双线性形式(-,-)与射影K基${\displaystyle x_{i},y_{i}}$，则称为弗罗贝尼乌斯扩展A | K，其中E(a) = (a,1)。例子还有：与有限指数子群相联系的群代数对、半单霍普夫代数的霍普夫子代数、伽罗瓦扩张和某些有限指数的冯·诺依曼代数子因子。弗罗贝尼乌斯扩张（及扭曲版本）的另一个来源是弗罗贝尼乌斯代数的某些子代数对，当中的子代数通过上代数（overalgebra）的对称自同构得到稳定。

群环例子的细节是以下群论基本概念的应用。令G为群，H为当中有限指数n的子群；设${\displaystyle g_{1},\ \ldots ,\ g_{n}}$为左陪集表示，于是G是陪集${\displaystyle g_{1}H,\ \ldots ,\ g_{n}H}$的不交并。在任意交换基环k上定义群代数${\displaystyle A=k[G],\ B=k[H]}$，于是B是A的子代数。通过使${\displaystyle \forall h\in H,\ E(h)=h;\ g\notin H,\ E(g)=0}$，定义弗罗贝尼乌斯同态${\displaystyle E:\ A\to B}$：这就从基群元素线性扩展到了A的所有元素，从而得到B-B双模射影

${\displaystyle E\left(\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{h\in H}n_{h}h\ \ \ {\text{ for }}n_{g}\in k}$

（正交归一性条件${\displaystyle E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1}$由此得出。）对偶基由${\displaystyle x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}}$给出，因为

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g_{i}E\left(g_{i}^{-1}\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{i}\sum _{h\in H}n_{g_{i}h}g_{i}h=\sum _{g\in G}n_{g}g}$

另一个对偶基方程可通过观察得出，即G也是右陪集${\displaystyle Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}}$的不交并。

另外，根据Kreimer & Takeuchi (1989)的定理，霍普夫-伽罗瓦扩张也是弗罗贝尼乌斯扩张。简单例子是有限群G通过自同构作用于具有不变子代数的代数A：

${\displaystyle B=\{x\in A\mid \forall g\in G,g(x)=x\}.}$

根据DeMeyer准则，A是B上的G伽罗瓦，若A中有元素${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}}$满足：

${\displaystyle \forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}a_{i}g(b_{i})=\delta _{g,1_{G}}1_{A}}$

因此

${\displaystyle \forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}g(a_{i})b_{i}=\delta _{g,1_{G}}1_{A}.}$

那么A是B的弗罗贝尼乌斯扩张，${\displaystyle E:\ A\to B}$定义为

${\displaystyle E(a)=\sum _{g\in G}g(a)}$

其满足

${\displaystyle \forall x\in A:\ \ \sum _{i=1}^{n}E(xa_{i})b_{i}=x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E(b_{i}x).}$

（此外，可分代数扩张的例子：${\textstyle e=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}b_{i}}$是可分性元，满足${\displaystyle \forall a\in A,\ ea=ae;\ '\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=1}$。也是深度二子环（A中的B）的例子，因为

${\displaystyle a\otimes _{B}1=\sum _{g\in G}t_{g}g(a)}$

其中

${\displaystyle t_{g}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}g(b_{i})}$

${\displaystyle \forall g\in G,\ \forall a\in A.}$

1950到60年代，Kasch & Pareigis、Nakayama & Tzuzuku等人开发了完备的弗罗贝尼乌斯扩张的诱导表示理论。例如，对每个B模M，诱导模${\displaystyle A\otimes _{B}M}$（若M是左模）与余诱导模${\displaystyle {\rm {Hom}}_{B}(A,\ M)}$作为A模自然同构。Kasch (1960)的自同态环定理指出，若A | B是弗罗贝尼乌斯扩张，则${\displaystyle A\to {\rm {End}}(A_{B})}$也是弗罗贝尼乌斯扩张，其中映射由a ↦ λ_a(x)和${\displaystyle \forall a,\ x\in A,\ \lambda _{a}(x)=ax}$给出。Mueller、Morita、Onodera等人又研究了自同态环定理和逆反。

如上段暗示的，弗罗贝尼乌斯扩张有等价的范畴化表述。 即，给定环扩张${\displaystyle S\subset R}$，从左S模范畴到左R模范畴的诱导函子${\displaystyle R\otimes _{S}-\colon {\text{Mod}}(S)\to {\text{Mod}}(R)}$有左右伴随，分别称作余限制与限制。。 当且仅当左右伴随自然同构时，该环扩张才称作“弗罗贝尼乌斯扩张”。

这就导致了对普通范畴论的明显抽象：伴随${\displaystyle F\dashv G}$若也有${\displaystyle G\dashv F}$，则称作弗罗贝尼乌斯伴随。 若函子F是弗罗贝尼乌斯伴随的一部分，即有同构的左右伴随，则是弗罗贝尼乌斯函子。