量子上同调

X的量子上同调的系数环有多种选择，通常我们会选择能编码X的第二同调信息的环，这样下面定义的量子上积就能记录X中仿全纯曲线的信息。例如，令

${\displaystyle H_{2}(X)=H_{2}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }$

为第二同调模其挠（torsion）。令R为任意有单位元的交换环，Λ是形式为

${\displaystyle \lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A},}$

的形式幂级数的环，其中

• 系数${\displaystyle \lambda _{A}}$来自R；
• ${\displaystyle e^{A}}$为形式变量，服从关系${\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}}$；
• 对每个实数C，只有有限多个ω(A)小于等于C的A具有非零系数${\displaystyle \lambda _{A}}$。

变量${\displaystyle e^{A}}$的度数为${\displaystyle 2c_{1}(A)}$，其中${\displaystyle c_{1}}$是切丛TX的第一陈类，通过选择任意与ω相配的殆复结构，可将其视为复向量丛。因此，Λ是分次环，称作ω的诺维科夫环（其他定义亦常见）。

令

${\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }$

为X模挠（torsion）的上同调。系数为Λ的小量子上同调定义为

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .}$

其元素是形式为

${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}}$

的有限和。小量子上同调是分次R模：

${\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).}$

普通上同调${\displaystyle H^{*}(X)}$通过${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$嵌入${\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )}$，后者由${\displaystyle H^{*}(X)}$作为Λ模生成。

对${\displaystyle H^{*}(X)}$中任意两个纯度（pure degree）的上同调类a、b，以及${\displaystyle H_{2}(X)}$中任意的A，定义${\displaystyle (a*b)_{A}}$为${\displaystyle H^{*}(X)}$的唯一元素，使得

${\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).}$

（右式是0亏格3点格罗莫夫-威滕不变量。）接着，定义

${\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.}$

根据线性关系，可以推广为定义良好的Λ双射

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )}$

即小量子上积（small quantum cup product）。

类${\displaystyle A=0}$中唯一的仿全纯曲线是常值映射，其像是点。因此

${\displaystyle GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;}$

即

${\displaystyle (a*b)_{0}=a\smile b.}$

于是量子上积包含普通上积；也就是说，这定义将普通上积推广到了非零类A。

一般来说，${\displaystyle (a*b)_{A}}$的庞加莱对偶对应着通过a、b的庞加莱对偶的类A的仿全纯曲线空间。所以，普通上同调认为只有当a、b在一定的点上相遇才算做相交，而量子上同调则记录了a和b的非零相交，只要有仿全纯曲线相连接即可。诺维科夫环仅仅提供了足够大的记录系统，可以记录所有类A的相交信息。

令X为具有标准辛形式（对应富比尼–施图迪度量）和复结构的复射影平面。令${\displaystyle \ell \in H^{2}(X)}$为线L的庞加莱对偶，则

${\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}$

唯一非零的格罗莫夫-威滕不变量是类${\displaystyle A=0}$或${\displaystyle A=L}$的不变量。可得

${\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)}$

及

${\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),}$

其中δ是克罗内克δ函数。于是，

${\displaystyle \ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},}$

${\displaystyle \ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.}$

这时，可以方便地将${\displaystyle e^{L}}$重命名为q，并使用更简单的系数环${\displaystyle \mathbf {Z} [q]}$，其中的q之度为${\displaystyle 6=2c_{1}(L)}$。则

${\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}$

对纯度（pure degree）的a、b，

${\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)}$

且

${\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.}$

小量子上积满足分配律，是Λ双线性的。单位元${\displaystyle 1\in H^{0}(X)}$也是小量子同调的幺元。

小量子上积还满足结合律，这是格罗莫夫-威滕不变量的胶合定律（gluing law）的结果。这相当于，格罗莫夫-威滕势（0亏格格罗莫夫-威滕不变量的母函数）满足特定的三阶微分方程，即WDVV方程。

相交对

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R}$

的定义为

${\displaystyle \left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.}$

（下标0表示${\displaystyle A=0}$系数。）其满足结合律

${\displaystyle \langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .}$

基环R是C时，可将向量空间${\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )}$的均匀分次部分H看做复流形。小量子上积限制为H上良定义的交换积。在较温和的假设下，具有相交对${\displaystyle \langle ,\ \rangle }$的H是弗罗贝尼乌斯代数。

量子上积可视作是切丛TH上的联络，称作杜布罗温联络。则，量子上积的交换性和结合性对应这个联络上的零挠率和零曲率条件。

存在${\displaystyle 0\in H}$的邻域U，使${\displaystyle \langle ,\rangle }$和杜布罗温联络赋予U以弗罗贝尼乌斯流形的结构。${\displaystyle \forall a\in U}$有量子上积

${\displaystyle *_{a}:H\otimes H\to H,}$

定义为

${\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle$ :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).}

H上的积统称为大量子上同调（big quantum cohomology）。所有0亏格格罗莫夫-威滕不变量都可从中恢复；但一般来说，更简单的小量子上同调并非如此。

小量子上同调只有3点格罗莫夫-威滕不变量的信息，大量子上同调则有所有n点（n ≧ 4）格罗莫夫-威滕不变量的信息。为获得某些流形的枚举几何信息，需要用到大量子上同调。小量子上同调对应物理学中的3点相关函数，大量子上同调则对应所有n点相关函数。

• McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1.
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• Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7