数域

设${\displaystyle {\mathcal {P}}}$是复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$的子集。若${\displaystyle {\mathcal {P}}}$中包含0与1，并且${\displaystyle {\mathcal {P}}}$中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在${\displaystyle {\mathcal {P}}}$中，就称${\displaystyle {\mathcal {P}}}$为一个数域[1]^:101。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域[2]^:5。

任何数域都包括有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$[1]^:103[2]^:5，但并不一定是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$和复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

除了常见的实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$和复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$以外[2]^:5，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：

${\displaystyle a+b{\sqrt {2}},\;\;a,b\in \mathbb {Q} }$

的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$的形式，故仍然在集合之中[1]^:102。这个集合记作${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$，是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的二次扩域。