E (数学常数)

,作为數學常數,是自然對數函數底數,亦称自然常数自然底数,或是歐拉數(),以瑞士數學家歐拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数,數值約是(小數點後20位,OEISA001113):

,近似值約為
歐拉數
數表无理数
- - - - - -
命名
名稱納皮爾常數
識別
種類無理數
超越數
發現雅各布·伯努利
符號
位數數列編號OEISA001113
性質
定義
連分數(線性表示)[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...]
以此為的多項式或函數
表示方式
2.7182818284
無窮級數
二进制10.101101111110000101010001[1]
八进制2.557605213050535512465277[2]
十进制2.718281828459045235360287
十二进制2.8752360698219BA71971009B[3]
十六进制2.B7E151628AED2A6ABF715880[4]
六十进制2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55…
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

是使在点上 (蓝色曲线)的导数(切线的斜率)值为1之的唯一值。对比一下,函数(虚点曲线)和(虚线曲线)和斜率为1、y-截距为1的直线(红色)并不相切。

歷史

第一次提到常數,是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把看為常數的是雅各布·伯努利,他嘗試計算下式的值:

上式代表把1與無窮小相加,再自乘無窮多次。

已知的第一次用到常數,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以表示。1727年歐拉開始用來表示這常數;而第一次在出版物用到,是1736年歐拉的《力學》()。雖然往後年日有研究者用字母表示,但較常用,終於成為標準。

表示的原因確實不明,但可能因為指數函數()一字的首字母。另一看法則稱有其他經常用途,而是第一個可用字母。

定義

就像圓周率虛數單位i是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義,下面列出一部分。

  1. 定義爲下列極限值:
  2. 定義階乘倒數無窮級數的和[5]
    其中代表階乘
  3. 定義爲唯一的正數使得
  4. 定義爲唯一的實數使得

這些定義可證明是等價的,请参见文章指数函数的特征描述

性質

的極大值在.

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數的重要性在於,唯独该函數(或其常數倍,即,其中為任意常數)與自身導數相等。即:

泰勒級數

為複數時依然成立,因此根據的泰勒級數,得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式:

的特例是歐拉恆等式

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

棣莫弗公式

就像以下的展開式:

無理數證明

反證法

證明是無理數可以用反證法。假設有理數,則可以表示成 ,其中為正整數。以的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

以下將推導出是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證是無理數。

  • 是整數,因為
  • 是小於1的正數,因為

但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出為無理數。

二項式定理

為存在的數值,所以用二項式定理可證出:

已知位数

的已知位数[6][7]
日期位数计算者
1748年18李昂哈德·歐拉
1853年137William Shanks
1871年205William Shanks
1884年346J. M. Boorman
1946年808
1949年2,010約翰·馮·諾伊曼
1961年100,265Daniel Shanks & 約翰·威廉·倫奇
1978年116,000史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克
1994年10,000,000Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997年5月18,199,978Patrick Demichel
1997年8月20,000,000Birger Seifert
1997年9月50,000,817Patrick Demichel
1999年2月200,000,579Sebastian Wedeniwski
1999年10月869,894,101Sebastian Wedeniwski
1999年11月21日1,250,000,000Xavier Gourdon
2000年7月10日2,147,483,648近藤茂、Xavier Gourdon
2000年7月16日3,221,225,472Colin Martin、Xavier Gourdon
2000年8月2日6,442,450,944近藤茂、Xavier Gourdon
2000年8月16日12,884,901,000近藤茂、Xavier Gourdon
2003年8月21日25,100,000,000近藤茂、Xavier Gourdon
2003年9月18日50,100,000,000近藤茂、Xavier Gourdon
2007年4月27日100,000,000,000近藤茂、Steve Pagliarulo
2009年5月6日200,000,000,000近藤茂、Steve Pagliarulo
2010年2月21日500,000,000,000余智恒(Alexander J. Yee)
2010年7月5日1,000,000,000,000近藤茂、余智恒(Alexander J. Yee)
2014年11月15日1,048,576,000,000David Galilei Natale

諧取

  • Google2004年的首次公開募股,集資額不是通常的整頭數,而是$2,718,281,828,這當然是取最接近整數的十億美元。Google2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,与圆周率有关。
  • Google也是首先在矽谷心臟地帶,接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手,它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在的連續數字中第一個發現的十位質數.com)。解決了這問題(第一個中的十位質數是7427466391,出奇地到很後才出現,由第100個數字開始),進入網站後還有個更難的題目要解決,最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束,上述網站都已關閉。
  • 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的版本號碼趨向(就是說版本號碼是2,2.7,2.71,2.718等),与之相对的有TeX的版本号是趋向于圆周率的。

参见

参考文献

  1. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  2. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  3. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  4. Sloane, N.J.A. (编). . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  5. Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 (日语) 142.D
  6. Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation 页面存档备份,存于
  7. Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast 页面存档备份,存于
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