斯坦斯普林扩张定理

对于有单位元的C*-代数，定理表述如下：

定理 设 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 为一个有单位元的 C*-代数， ${\displaystyle H}$ 为希尔伯特空间， ${\displaystyle B(H)}$ 为 ${\displaystyle H}$ 上的全体有界算子的集合。对于任一完全正映射

${\displaystyle \Phi$ :{\mathcal {A}}\to B(H),}

存在一个希尔伯特空间 ${\displaystyle K}$ 和一个保单位元的 *-同态

${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {A}}\to B(K)}

使得

${\displaystyle \Phi (a)=V^{\ast }\pi (a)V,}$

其中 ${\displaystyle V:H\to K}$ 是有界算子。此外，我们还有

${\displaystyle \|\Phi (1)\|=\|V\|^{2}.}$

非正式地说，我们可以说任一完全正映射 ${\displaystyle \Phi }$ 可以“提升”为形如 ${\displaystyle V^{*}(\cdot )V}$ 的映射。

该定理的逆命题显然为真。因此，此定理对完全正映射进行了分类。

我们现在简述一下证明。令 ${\displaystyle K={\mathcal {A}}\otimes H}$ 。对于 ${\displaystyle a\otimes h,\ b\otimes g\in K}$ ， 定义

${\displaystyle \langle a\otimes h,b\otimes g\rangle _{K}:=\langle \Phi (b^{*}a)h,g\rangle _{H}=\langle h,\Phi (a^{*}b)g\rangle _{H}}$

并通过半线性扩张到整个 ${\displaystyle K}$ 。这是一个厄米半线性形式，因为 ${\displaystyle \Phi }$ 与 * 操作是相容的。然后可基于 ${\displaystyle \Phi }$ 的完全正性证明该半线性形式实际上是半正定的。由于半正定厄米半线性形式满足柯西-施瓦茨不等式，因此子集

${\displaystyle K'=\{x\in K\mid \langle x,x\rangle _{K}=0\}\subset K}$

是一个子空间。我们可以通过考虑商空间 ${\displaystyle K/K'}$ 来消除退化。于是该商空间的完备化给出一个希尔伯特空间，也记作 ${\displaystyle K}$ 。下一步定义 ${\displaystyle \pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g}$ 和 ${\displaystyle Vh=1_{A}\otimes h}$ 。可以验证 ${\displaystyle \pi }$ 和 ${\displaystyle V}$ 具有所需的性质。 是一个子空间。

注意 ${\displaystyle V}$ 就是 ${\displaystyle H}$ 到 ${\displaystyle K}$ 的自然代数嵌入。可以验证 ${\displaystyle V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h}$ 。特别地，注意到有 ${\displaystyle V^{\ast }V=\Phi (1)}$ ，因此当且仅当 ${\displaystyle \Phi (1)=1}$ 时， ${\displaystyle V}$ 得以是一个等距同构。在这种情况下， ${\displaystyle H}$ 可以在希尔伯特空间意义上嵌入到 ${\displaystyle K}$ 中，而作用在 ${\displaystyle K}$ 上的 ${\displaystyle V^{\ast }}$ 则是到 ${\displaystyle H}$ 上的投影。符号上，我们可以写成

${\displaystyle \Phi (a)=P_{H}\;\pi (a){\Big |}_{H}.}$

用扩张理论的语言来说， ${\displaystyle \Phi (a)}$ 是 ${\displaystyle \pi (a)}$ 的一个压缩 。因此，斯坦斯普林扩张定理的一个推论是，每个保单位的完全正映射都是某个*-同态的压缩。

三元组 ${\displaystyle (\pi ,V,K)}$ 被称为 ${\displaystyle \Phi }$ 的斯坦斯普林表示。现在一个自然的问题是，是否可以将给定的斯坦斯普林表示约化为在某种意义上极小的。

令 ${\displaystyle K_{1}}$ 为 ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})VH}$ 的闭线性生成空间。根据*-表示的一般性质，对于任意 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ， ${\displaystyle K_{1}}$ 是 ${\displaystyle \pi (a)}$ 的不变子空间；且有 ${\displaystyle VH\subset K_{1}}$ 。定义

${\displaystyle \pi _{1}(a)=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}.}$

可直接计算得到

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(a)\pi _{1}(b)&=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (a)\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (ab){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi _{1}(ab).\end{aligned}}}$$

若有 ${\displaystyle k,\ell \in K_{1}}$，则

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \pi _{1}(a^{*})k,\ell \rangle &=\langle \pi (a^{*})k,\ell \rangle \\&=\langle \pi (a)^{*}k,\ell \rangle \\&=\langle k,\pi (a)\ell \rangle \\&=\langle k,\pi _{1}(a)\ell \rangle \\&=\langle \pi _{1}(a)^{*}k,\ell \rangle .\end{aligned}}}$$

因此 ${\displaystyle (\pi _{1},V,K_{1})}$ 也是 ${\displaystyle \Phi }$ 的一个斯坦斯普林表示，且 ${\displaystyle K_{1}}$ 是 ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})VH}$ 的闭线性生成空间，这样的表示称为极小斯坦斯普林表示。

令 ${\displaystyle (\pi _{1},V_{1},K_{1}),(\pi _{2},V_{2},K_{2})}$ 为给定 ${\displaystyle \Phi }$ 的两个斯坦斯普林表示。定义一个部分等距映射 ${\displaystyle W:K_{1}\to K_{2}}$ 如下

${\displaystyle \;W\pi _{1}(a)V_{1}h=\pi _{2}(a)V_{2}h.}$

在 ${\displaystyle V_{1}H\subset K_{1}}$ 上，这给出了交织关系

${\displaystyle \;W\pi _{1}=\pi _{2}W.}$

特别是，如果两个斯坦斯普林表示都是极小的，则 ${\displaystyle W}$ 是幺正的。因此，极小斯坦斯普林表示是唯一的，至多差一个幺正变换。

下文将提及一些可以看作斯坦斯普林定理推论的结果。从历史上看，下面的一些结果要更早于斯坦斯普林定理。

GNS 构造

下面将从斯坦斯普林定理导出GNS构造。令斯坦斯普林定理中的 ${\displaystyle H}$ 为一维的，即复数。因此 ${\displaystyle \Phi }$ 现在是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的正线性泛函。若假定 ${\displaystyle \Phi }$ 是一个态（也就是说 ${\displaystyle \Phi }$ 的范数为一），那么等距映射 ${\displaystyle V:H\to K}$ 可由

${\displaystyle V1=\xi }$

确定，其中 ${\displaystyle \xi \in K}$ 是某个单位向量。所以

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (a)=V^{*}\pi (a)V&=\langle V^{*}\pi (a)V1,1\rangle _{H}\\&=\langle \pi (a)V1,V1\rangle _{K}\\&=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle _{K},\end{aligned}}}$$

这正是态与其 GNS 构造间的关系式。由此可以看出完全正映射（而非正映射）才是正线性泛函的适当推广。

设 C*-代数上有正线性泛函 ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ ，若它们对于任一正元素 ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$ 满足

$${\displaystyle \Psi (x)=0\implies \Phi (x)=0}$$

，则称 ${\displaystyle \Phi }$ 关于 ${\displaystyle \Psi }$ 是绝对连续的。这即是拉东-尼科迪姆定理的非交换推广。当参考函数选择为迹时，矩阵代数上的态关于迹的通常密度算子不过是选择 ${\displaystyle \Psi }$ 为迹时的拉东-尼科迪姆导数。别拉夫金引入了一个完全正映射相对于另一个（参考）映射的完全绝对连续的概念，并证明了完全正映射的非交换拉东-尼科迪姆定理的一个算子变体。此定理的一个特例对应于参考映射是矩阵代数上的迹性（tracial）的完全正映射的情况，这给出了所谓蔡文端算子，即完全正映射关于标准迹的拉东-尼科迪姆导数（参见蔡文端定理）。

在量子信息中，量子通道或者说量子操作被定义为C*-代数之间的完全正映射。作为所有此类映射的分类，斯坦斯普林定理在该背景下具有重要意义。例如，该定理的唯一性部分已被用来对某些类别的量子通道进行分类。

为了比较不同的通道并计算它们的互保真度和信息，使用别拉夫金引入的拉东-尼科迪姆导数对通道进行另一种表示将是很有用的。作为别拉夫金的完全正映射的拉东-尼科迪姆定理在有限维、迹性情况下的变体，蔡文端定理也与此相关联。

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.}$

所确定的算子 ${\displaystyle \{V_{i}\}}$ 被称为 ${\displaystyle \Phi }$ 的克劳斯算子。表达式

${\displaystyle \sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}(\cdot )V_{i}}$

则有时被称为 ${\displaystyle \Phi }$ 的算子和表示。

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