盖尔范德–奈马克–西格尔构造

C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 在希尔伯特空间 ${\displaystyle H}$ 上的*-表示是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 到 ${\displaystyle B(H)}$ 的 *-同态 ${\displaystyle \pi }$ ，其中 ${\displaystyle B(H)}$ 是 ${\displaystyle H}$ 上有界算子构成的代数。换句话说，${\displaystyle \pi }$ 是将 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的对合映为 ${\displaystyle B(H)}$ 上的对合的代數同態。

下文提及 *-表示时，将默认讨论的是非退化的*-表示。也就是说线性生成空间 ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})H}$ 是 ${\displaystyle H}$ 的稠密子集。注意，若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 有单位元，则非退化性蕴含了 ${\displaystyle \pi }$ 的保单位元性质，即 ${\displaystyle \pi }$ 将 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的单位元映射到 ${\displaystyle H}$ 上的恒等算子 ${\displaystyle I}$ 。

C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的态是范数为 1 的正线性泛函 ${\displaystyle f}$ 。若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 具有乘法单位元，则此条件等价于 ${\displaystyle f(1_{\mathcal {A}})=I}$ 。

对于希尔伯特空间 ${\displaystyle H}$ 上的C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的表示 ${\displaystyle \pi }$ 以及 ${\displaystyle \xi \in H}$ ，如果向量集

${\displaystyle \{\pi (x)\xi :x\in A\}}$

在 ${\displaystyle H}$ 中范数稠密，则 ${\displaystyle \xi ,\pi }$ 分别被称为是循环向量和循环表示。一个不可约表示的任何非零向量都是循环的。然而，一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。

GNS 构造

令 ${\displaystyle \pi }$ 为C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 在希尔伯特空间 ${\displaystyle H}$ 上的*-表示，单位向量 ${\displaystyle \xi }$ 对于 ${\displaystyle \pi }$ 而言是循环向量。那么

$${\displaystyle a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$$

是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的一个态。

反过来，通过选择一种典范的表示， ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的每个态都可以被视为如上所述的向量态。

定理[1] — 给定C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的态 ${\displaystyle \rho }$ ，必有 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 在某个希尔伯特空间 ${\displaystyle H}$ 上的一个*-表示 ${\displaystyle \pi }$ 以及一个相对 ${\displaystyle \pi }$ 而言循环的单位向量 ${\displaystyle \xi }$ ，使得

$${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle .}$$

 

證明

1. 构造希尔伯特空间 ${\displaystyle H}$ 定义 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的一个正半定半线性形式如下
   $${\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.}$$

   
   根据柯西-施瓦茨不等式， ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的退化元（也就是说即满足 ${\displaystyle \rho (a^{*}a)=0}$ 的 ${\displaystyle a}$ ）构成了 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的一个子空间 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 。通过C*-代数式的论证，可以证明[2] ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的一个左理想（即 ${\displaystyle \rho }$ 的左核)。实际上，它是 ${\displaystyle \rho }$ 的核所含的最大的左理想。商空间 ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {I}}}$ 可配备内积 ${\displaystyle \langle a+I,b+I\rangle$ :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A} 而成为内积空间。再利用内积诱导的范数进行完备化便得到被记作 ${\displaystyle H}$ 的希尔伯特空间.
2. 构造表示 ${\displaystyle \pi }$
   为定义 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 到 ${\displaystyle B(H)}$ 上的映射 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ，先定义 ${\displaystyle \pi }$ 到 ${\displaystyle B({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})}$ 上的映射。为此对于 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ，定义算子 ${\displaystyle \pi (a)}$ 的行为如下： ${\displaystyle \pi (a)(b+{\mathcal {I}})=ab+{\mathcal {I}}}$ ，其中 ${\displaystyle x+{\mathcal {I}}}$ 表示商空间中的 ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$ 所属的等价类。类似前面对 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 是左理想的证明，可以证明[3]前述的算子 ${\displaystyle \pi (a)}$ 是有界的，故可以唯一地扩张为 ${\displaystyle H}$ 上的有界算子。注意希尔伯特空间上算子的伴随的定义， ${\displaystyle \pi }$ 显然是保对合的，至此便证明了它是一个*-同态。
3. 找出循环单位向量 ${\displaystyle \xi }$

   若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 有乘法单位元 ${\displaystyle 1}$ ，则显然 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中单位元所在的等价类就是 ${\displaystyle H}$ 中相对于 ${\displaystyle \pi }$ 而言的循环向量 ${\displaystyle \xi }$ 。若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 没有乘法单位元，可考虑 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的渐进单位元 ${\displaystyle \{e_{\lambda }\}}$ 。由于正线性泛函有界， ${\displaystyle \{e_{\lambda }\}}$ 在商空间中的等价类将收敛于某个向量 ${\displaystyle \xi \in H}$ ，即所要寻找的循环向量。

   根据 ${\displaystyle H}$ 上内积的定义，态 ${\displaystyle \rho }$ 显然可由上述循环表示和循环向量构造而来，于是此定理证毕。

在上述定理的证明中，根据 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的态产生*-表示的方法称为GNS构造。

对于C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的一个态，相应的GNS表示本质上由 ${\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }$ 唯一确定了。下面的定理说明了这一点：

定理[4] — 设 ${\displaystyle \pi ,\pi '}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 分别在希尔伯特空间 ${\displaystyle H,H'}$ 上的*-表示，相应的循环单位向量分别是 ${\displaystyle \xi ,\xi '}$ 。对于 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上给定的态 ${\displaystyle \rho }$ ，若其满足

$${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle }$$

，则 ${\displaystyle \pi ,\pi '}$ 是幺正等价的*-表示，也就是说存在一幺正算子 ${\displaystyle U:H\to H'}$ 使得

$${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \pi '(a)=U\pi (a)U^{*}.}$$

该算子具有性质

${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad U\pi (a)\xi =\pi '(a)\xi '.}$

不可约*-表示和态所构成的凸集的极点（純態）之间的关系也很重要。 ${\displaystyle H}$ 上的表示 ${\displaystyle \pi }$ 是不可约的，当且仅当 ${\displaystyle H}$ 没有非平凡的在任一 ${\displaystyle \pi (x)}$ 下不变的闭子空间，这里所谓平凡的子空间是指 ${\displaystyle H,\{0\}}$ 。

这些结果可由巴拿赫-阿勞格魯定理直接得出。

作为有单位元的交换代数，对于某个紧致的 ${\displaystyle X}$ 上的连续函数所构成的C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ， 里斯-马尔可夫-角谷表示定理指出，范数不超过一的正泛函可视作 ${\displaystyle X}$ 上一个总质量不超过一的博雷尔正测度。根据克林-米尔曼定理，极点态则对应于狄拉克测度。

另一方面， ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ 的表示的不可约性等价于其是一维的。因此，为使 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ 对应于测度 ${\displaystyle \mu }$ 的GNS 表示是不可约的，须且仅须 ${\displaystyle \mu }$ 是一极点态。事实上，这对于一般的C*-代数也成立。

为证明此结果，首先须注意，一个表示是不可约的当且仅当 ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$ 的中心化子（记作 ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})'}$ ）由单位元的标量倍数构成。

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上任一被 ${\displaystyle f}$ 控制的正线性泛函 ${\displaystyle g}$ 具有形式

$${\displaystyle g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle ,}$$

其中 ${\displaystyle T_{g}\in \pi ({\mathcal {A}})'}$ 是某个正算子，其在算子序下满足 ${\displaystyle 0\leq T\leq 1}$。这是拉东-尼科迪姆定理的一个版本。

对于这样的 ${\displaystyle g}$ ，可以将 ${\displaystyle f}$ 写为如下正线性泛函的和： ${\displaystyle f=g+g'}$ 。因此 ${\displaystyle \pi }$ 幺正等价于 ${\displaystyle \pi _{g}\oplus \pi _{g'}}$ 的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的 ${\displaystyle \pi _{g}}$ 都幺正等价于 ${\displaystyle \pi }$ ，即 ${\displaystyle g}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的标量倍数， ${\displaystyle \pi }$ 才是不可约的。于是便证明了该定理。

上文提到的极点态往往被称为纯态，但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。

上述C*-代数的定理可推广到具有渐进单位元的B*-代数。

刻画完全正映射的斯坦斯普林扩张定理是GNS构造的一个重要推广。

盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。[5]西格尔意识到了其工作中隐含的构造，并以更明显的形式呈现出来。

西格尔在其1947年的论文中表明，对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统，考虑 C*-代数的不可约表示就足够了。在量子理论中，这意味着C*-代数是由可观测量生成的。正如西格尔所指出的，约翰·冯·诺依曼早先已经证明过这一点，但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。[6]

• 斯坦斯普林扩张定理