C*-代数

自伴元是满足${\displaystyle x=x^{*}}$的元素。形式为${\displaystyle x^{*}x}$的C*-代数A的元素集形成闭凸锥，与${\displaystyle xx^{*}}$形式元素相同。锥的元素被称作非负元（或正元素，与ℝ中元素的术语相冲突）。

C*-代数A的自伴元集自然具有偏序向量空间结构，通常用${\displaystyle \geq }$表示。其中，自伴元素${\displaystyle x\in A}$，当且仅当x的谱非负，当且仅当${\displaystyle s\in A}$，有${\displaystyle x=s^{*}s}$，能满足${\displaystyle x\geq 0}$。两自伴元${\displaystyle x,\ y\in A}$若满足${\displaystyle x-y\geq 0}$，则${\displaystyle x\geq y}$。

这个偏序子空间允许在C*-代数上定义正线性泛函，进而定义C*-代数的态，进而利用GNS构造，构造C*-代数的谱。

C*-代数A都有近似单位。A有自伴元有向族${\displaystyle \{e_{\lambda }\}_{\lambda \in I}}$使得

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x}$

${\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .}$

A若可分，则有序列近似单位（sequential approximate identity）。更一般地，当且仅当A包含严格正元，即正元素h使${\displaystyle hAh}$在A中稠密，A才有序列近似单位。

运用近似单位，可证明C*-代数对具有自然范数的闭紧合双侧理想的代数商仍是C*-代数。

同样，C*-代数的闭双侧理想也是C*-代数。

${\displaystyle {\hat {A}}}$的拓扑可有多种等价的定义方式。首先用主谱定义。

A的主谱是A的主理想集${\displaystyle {\rm {Prim}}(A)}$，主理想指非零不可还原*-表示的核。主理想集是具有壳-核拓扑（hull-kernel topology，或雅各布森拓扑）的拓扑空间，定义如下：若X是主理想集，其壳-核闭包是

${\displaystyle {\overline {X}}=\left\{\rho \in \operatorname {Prim} (A):\rho \supseteq \bigcap _{\pi \in X}\pi \right\}.}$

很容易证明壳-核闭包是一种幂等运算，即

${\displaystyle {\overline {\overline {X}}}={\overline {X}},}$

可以证明其满足库拉托夫斯基闭包公理，因此可以证明${\displaystyle {\rm {Prim}}(A)}$上有唯一的拓扑${\displaystyle \tau }$，使得关于${\displaystyle \tau }$的集合X的闭包与X的壳-核闭包完全相同。

由于幺正等价表示具有相同的核，所以映射${\displaystyle \pi \mapsto {\rm {ker}}{\pi }}$通过满射

${\displaystyle \operatorname {k}$ :{\hat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).}

分解。我们用k来定义${\displaystyle {\hat {A}}}$的拓扑：

定义. ${\displaystyle {\hat {A}}}$的开集是${\displaystyle {\rm {Prim}}(A)}$的开子集U的逆像${\displaystyle k^{}-1i(U)}$。这便是拓扑。

壳-核拓扑是交换环的扎里斯基拓扑在非交换环上的类似物。壳-核拓扑诱导的${\displaystyle {\hat {A}}}$上的拓扑还可用'A的态描述。

3维交换C*-代数及其理想。8个理想中的每个都对应离散3点空间的一个闭子集（或开补集），主理想对应闭单元集。

交换C*-代数A的谱与A的盖尔范德对偶（注意不要与巴拿赫空间A的对偶A'混淆）重合。具体来说，设X是紧豪斯多夫空间，则有自然同胚

${\displaystyle \operatorname {I} :X\cong \operatorname {Prim} (\operatorname {C} (X)).}$

此映射的定义是

${\displaystyle \operatorname {I} (x)=\{f\in \operatorname {C} (X):f(x)=0\}.}$

其中${\displaystyle I(x)}$是${\displaystyle C(X)}$中的闭最大理想，也是主理想。对交换C*-代数，

${\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}$

令H维可分无穷维希尔伯特空间。${\displaystyle L(H)}$有两个对范封闭的*-理想：${\displaystyle I_{0}=\{0\}}$与紧算子的${\displaystyle K=K(H)}$。因此作为集合，${\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))=\{I_{0},\ K\}}$。现在

• ${\displaystyle \{K\}}$是${\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))}$的闭子集。
• ${\displaystyle \{I_{0}\}}$的闭包是${\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))}$。

因此${\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))}$是非豪斯多夫空间。

另一方面，${\displaystyle L(H)}$的谱要大得多。有很多核为${\displaystyle K(H)}$或${\displaystyle \{0\}}$的不等价不可还原表示。

设A 是有限维C*-代数。已知A同构于全矩阵代数的有限直和：

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{e\in \operatorname {min} (A)}Ae,}$

其中${\displaystyle {\rm {min}}(A)}$是A的最小中心投影。A的谱与${\displaystyle {\rm {min}}(A)}$在离散拓扑上规范同构。对有限维C*-代数，也有同构

${\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}$

壳-核拓扑很容易抽象表述，但实际上，对与局部紧拓扑群相关联的C*-代数，需要用正定函数描述谱上拓扑的其他特征。实际上，${\displaystyle {\hat {A}}}$上的拓扑与表示的弱包含密切相关，如下：

定理. 令${\displaystyle S\subseteq {\hat {A}}}$。则对不可还原表示${\displaystyle \pi }$，下列条件等价：

1. ${\displaystyle \pi }$在${\displaystyle {\hat {A}}}$中的等价类位于S的闭包中；
2. 与${\displaystyle \pi }$相关的每个态，即形式为

${\displaystyle f_{\xi }(x)=\langle \xi \mid \pi (x)\xi \rangle }$

且${\displaystyle \lVert \xi \rVert =1}$，是与S中的表示相关联的态的弱极限。

第二个条件意味着${\displaystyle \pi }$弱包含于S中。

GNS构造将C*-代数A的态与A的表示相关联。据与GNS构造相关的基本定理之一，对态f，当且仅当相关表示${\displaystyle \pi _{f}}$不可约，f才是纯的。此外，由${\displaystyle f\mapsto \pi _{f}}$定义的映射${\displaystyle \kappa$ :\ {\rm {PureState}}(A)\to {\hat {A}}} 是满射。

根据前面的定理，很容易证明下面的内容：

定理 GNS构造给出的映射

${\displaystyle \kappa$ :\operatorname {PureState} (A)\to {\hat {A}}}

是连续开映射。

${\displaystyle {\hat {A}}}$上的拓扑还有一种描述，即将表示空间视作具有具有适当点收敛拓扑的拓扑空间。详细点说，令n是基数，令${\displaystyle H_{n}}$是n维规范希尔伯特空间。 ${\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}$是A在${\displaystyle H_{n}}$中的不可约*-表示空间，具有点弱拓扑。就网的收敛性而言，此拓扑的定义是${\displaystyle \pi _{i}\to \pi }$；当且仅当

${\displaystyle \langle \pi _{i}(x)\xi \mid \eta \rangle \to \langle \pi (x)\xi \mid \eta \rangle \quad \forall \xi ,\eta \in H_{n}\ x\in A.}$

事实证明，${\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}$上的这种拓扑，结构与点强拓扑相同，即当且仅当

${\displaystyle \pi _{i}(x)\xi \to \pi (x)\xi \quad {\mbox{ normwise }}\forall \xi \in H_{n}\ x\in A}$

有${\displaystyle \pi _{i}\to \pi }$。

定理. 令${\displaystyle {\hat {A}}_{n}}$为${\displaystyle {\hat {A}}}$的子集，由底希尔伯特空间是n维的的表示的等价类组成。规范映射${\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)\to {\hat {A}}_{n}}$是连续开的。特别是，${\displaystyle {\hat {A}}_{n}}$可视作${\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}$在幺正等价下的商拓扑空间。

备注. 将不同的${\displaystyle {\hat {A}}_{n}}$拼凑在一起可能相当复杂。

${\displaystyle {\hat {A}}}$是拓扑空间，因此也可视作博雷尔空间。乔治·麦基（G. Mackey）提出了一个著名猜想：当且仅当博雷尔空间是标准的，即（在博雷尔空间范畴中）与完全可分度量空间的底博雷尔空间同构时，称可分局部紧群是I型的。麦基称具有这一性质的博雷尔空间为光滑空间。詹姆斯·格利姆在1961年证明了此猜想。

定义. 可分C*-代数A的非退化*-表示${\displaystyle \pi }$，当且仅当${\displaystyle \pi (A)}$生成的冯诺依曼代数中心是1维时，称其是因子表示（factor representation）。当且仅当C*-代数A的任意可分因子表示是不可还原因子表示的有限倍或可数倍时，称其属于I型。 ${\displaystyle C*(G)}$为I型的可分局部紧群G的例子如连通（实）幂零李群和连通实半单李群。因此，海森堡群都是I型的。紧群和阿贝尔群也都是I型的。

定理. 若A可分，则当且仅当A是I型时，${\displaystyle {\hat {A}}}$光滑。

这个结果对可分I型C*-代数及相应的可分I型局部紧群的表示结构进行了意义深远的概括。

由于C*-代数A是环，所以也可考虑A的主理想集。对一个环，当且仅当理想是单模的零化子时，此理想才是主理想。对C*-代数A，当且仅当一个理想是上述定义意义上的主理想时，它才是代数上的主理想。

定理. 令A是C*-代数。A在复向量空间上的不可还原表示，在代数上等价在希尔伯特空间的拓扑上不可还原的*-表示。当且仅当它们幺正等价时，希尔伯特空间上的拓扑不可还原*-表示在代数上同构。

若G是局部紧群，则G的群C*-代数${\displaystyle C^{*}(G)}$的对偶空间上的拓扑称作费尔拓扑，得名于J. M. G. Fell。

${\displaystyle \mathbb {C} }$上n阶方阵的代数${\displaystyle M(n,\ \mathbb {C} )}$，若将方阵看做欧氏空间${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$上的算子，并在方阵上使用算子范数||·||，则${\displaystyle M(n,\ \mathbb {C} )}$就变成了C*-代数；对合由共轭转置给出。更一般地，可以考虑矩阵代数的有限直和。事实上，所有作为向量空间有限维的C*-代数在同构的意义上都是这种形式。自伴要求意味着有限维C*-代数是半单代数，由此可推出下面的阿廷-韦德伯恩定理：

定理 有限维C*-代数A规范地同构于有限直和

${\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}$

其中min A是A的最小非零自伴中心投影集。

C*-代数Ae与全矩阵代数${\displaystyle M({\rm {dim}}(e),\ \mathbb {C} )}$同构（非规范）。${\displaystyle \{{\rm {dim}}(e)\}_{e}}$给出的minA上的有限族索引称作A的维向量，唯一确定了有限维C*-代数的同构类。用算子K理论的话说，这向量是A的${\displaystyle K_{0}}$群的正锥。

†-代数（更确切地说，†-封闭代数）是物理学中偶尔使用的名称，指有限维C*-代数。[5]剑标†在物理学中常用于表示埃尔米特伴随，且通常不关注与无穷维相关的微妙问题。数学中通常用星号*表示埃尔米特伴随。†-代数在量子力学，特别是量子信息科学中有重要地位。 有限维C*-代数的一个直接推广是近似有限维C*-代数。

C*-代数的典型例子是定义在复希尔伯特空间H上的有界（等价于连续）线性算子的代数${\displaystyle B(H)}$，其中x*表示算子${\displaystyle x:\ H\to \ H}$的伴随算子。事实上，对合适的希尔伯特空间H，所有C*-代数A都*-同构于${\displaystyle B(H)}$的闭范伴随闭子代数，这就是盖尔范德-奈马克定理。

设H为可分无穷维希尔伯特空间，则H上紧算子代数${\displaystyle K(H)}$是${\displaystyle B(H)}$的闭范子代数。它在对合下也封闭，因此是C*-代数。

紧算子的具体C*-代数具有类似于Wedderburn有限维C*-代数定理的特征：

定理 设A是${\displaystyle K(H)}$的C*-子代数，则存在希尔伯特空间${\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}$，使

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}$

其中（C*-）直和包含笛卡儿积${\displaystyle \Pi K(H_{i})}$的元素${\displaystyle (T_{i}),\ ||T_{i}||\to 0}$</math>。

虽然${\displaystyle K(H)}$没有幺元，但可以为${\displaystyle K(H)}$建立一个序列近似单位，具体来说H同构于平方可和序列${\displaystyle I^{2}}$空间；不妨令${\displaystyle H=I^{2}}$。对每个自然数n，令${\displaystyle H_{n}}$为项${\displaystyle k\geq n}$时为零的${\displaystyle I^{2}}$序列的子空间，令${\displaystyle e_{n}}$为到${\displaystyle H_{n}}$的正交投影。则，序列${\displaystyle \{e_{n}\}_{n}}$是${\displaystyle K(H)}$的近似单位。

${\displaystyle K(H)}$是${\displaystyle B(H)}$的双侧闭理想。对可分希尔伯特空间，是唯一理想。商${\displaystyle B(H)/K(H)}$称作卡尔金代数。

令X为局部紧豪斯多夫空间，其上在无穷远处为零的复值连续函数空间${\displaystyle C_{0}(X)}$在逐点乘与加法下形成交换C*-代数${\displaystyle C_{0}(X)}$。对合是逐点共轭。当且仅当X紧时，${\displaystyle C_{0}(X)}$有乘法单位元。与其他C*-代数一样，${\displaystyle C_{0}(X)}$有近似单位；对${\displaystyle C_{0}(X)}$这是直接的：考虑X的紧子集直和，对每个紧K，令${\displaystyle f_{K}}$为紧支撑函数， 且在K上等于1。根据适用于局部紧豪斯多夫空间的蒂策扩张定理，这样的函数是存在的。这样的函数序列${\displaystyle \{f_{K}\}}$都是近似单位。

盖尔范德表示指出，交换C*-代数*-同构于代数${\displaystyle C_{0}(X)}$，其中X是具备弱*拓扑的特征标空间。此外，若${\displaystyle C_{0}(X)}$同构于C*-代数${\displaystyle C_{0}(Y)}$，则X、Y同胚。这一特征是非交换拓扑与非交换几何纲领的动机之一。

给定巴拿赫*-代数A，具有近似单位，则有（在C*-同构意义上）唯一的C*-代数${\displaystyle \mathbb {E} (A)}$与万有的*-态射${\displaystyle \pi$ :\ A\to \mathbb {E} (A)} ，即其他连续*-态射${\displaystyle \pi$ :\ A\to B} 因子都唯一地通过π。代数${\displaystyle \mathbb {E} (A)}$称作巴拿赫*-代数A的C*-包络代数。

局部紧群G的C*-代数尤为重要，定义为G的群代数的包络C*-代数。G的C*-代数提供了非阿贝尔情形下的一般调和分析，特别是，局部紧群的对偶定义为群C*-代数的主理想空间。

冯诺依曼代数在1960年代以前称作W*-代数，是一类特殊的C*-代数。它们需要在弱算子拓扑下封闭，这比范数拓扑更弱。

谢尔曼–武田定理表明，C*-代数都有泛包络W*-代数，使到W*-代数的任意同态都通过它。