旅行推销员问题

单钻头的运动可以看成是典型的TSP问题。TSP可以用整数线性规划来形式化。[3][4][5] 用数字 0, ..., n 标记这些城市（打孔位置），并定义：

${\displaystyle x_{ij}={\begin{cases}1&{\text{the path goes from city }}i{\text{ to city }}j\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

对于 i = 0, ..., n，令 ${\displaystyle u_{i}}$ 为一人工变量，最后把 ${\displaystyle c_{ij}}$ 作为从城市 i 到 j 的距离。那么TSP可以写成下面的整数线性规划问题：

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\sum _{i=0}^{n}\sum _{j\neq i,j=0}^{n}c_{ij}x_{ij}&&\\&0\leq x_{ij}\leq 1&&i,j=0,\cdots ,n\\&u_{i}\in \mathbf {Z} &&i=0,\cdots ,n\\&\sum _{i=0,i\neq j}^{n}x_{ij}=1&&j=0,\cdots ,n\\&\sum _{j=0,j\neq i}^{n}x_{ij}=1&&i=0,\cdots ,n\\&u_{i}-u_{j}+nx_{ij}\leq n-1&&1\leq i\neq j\leq n\end{aligned}}}$

第一组等式要求每个城市都能另一个城市前来，而第二组等式要求每个城市都能出发。最后的约束迫使覆盖所有城市的路径只有一条，而不是两条或者多条分散的路径在一起覆盖的。要证明这一点，下面会去证 (1)每个可行解包含只有一条封闭城市序列，以及(2)对于每条覆盖所有城市的单独路径，虚拟变量 ${\displaystyle u_{i}}$ 有值可以满足限制式。

证明可行解中的每个子回路经过0号城市（注意到等式保证了只有一条这样的路径），就能证明所有可行解只包含一个封闭城市序列。对于若我们对所有 ${\displaystyle x_{ij}=1}$ 对应的不等式求和的话，对 k 步不经过0号城市的任何子回路，我们得到：

${\displaystyle nk\leq (n-1)k,}$

这构成矛盾。

必须证明对每个覆盖所有城市的单独回路，虚拟变量 ${\displaystyle u_{i}}$ 有值可以满足约束。

为了不失一般性，定义起始点为0号城市。如果在第 t 步访问城市 i 后 (i, t = 1, 2, ..., n) 选取 ${\displaystyle u_{i}=t}$。则

${\displaystyle u_{i}-u_{j}\leq n-1,}$

由于 ${\displaystyle u_{i}}$ 不大于 n 而 ${\displaystyle u_{j}}$ 不小于1；因此，每当 ${\displaystyle x_{ij}=0}$ 时满足约束。对于 ${\displaystyle x_{ij}=1}$，我们有：

${\displaystyle u_{i}-u_{j}+nx_{ij}=(t)-(t+1)+n=n-1,}$

满足约束。

• 加拿大旅行者问题
• 邮递员问题
• 柯尼斯堡七桥问题
• 车辆路径问题

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• Walshaw, Chris, , CMS Press, 2000.
• Walshaw, Chris, , CMS Press, 2001.

维基共享资源上的相关多媒体资源：旅行推销员问题

• Traveling Salesman Problem （页面存档备份，存于） at University of Waterloo
• TSPLIB at the University of Heidelberg
• Traveling Salesman Problem （页面存档备份，存于） by Jon McLoone at the Wolfram Demonstrations Project
• Traveling Salesman movie (on IMDB) （页面存档备份，存于）
• MAOS-TSP （页面存档备份，存于） JAVA TSP Solver