最小相位

最小相位（minimum-phase）是控制理论及信號處理中有特殊性質的系統，對於线性时不变系统，若本身為因果系统且穩定，且其逆系統也是穩定的因果系统，此系統即為最小相位系統[1][2]。

相反的，非最小相位（non-minimum phase）系統可以用最小相位系統串接全通濾波器，使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面，表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」（有些可能是传送迟延），這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。

例如一個離散系統，其有理傳遞函數若其所有的極點都在單位圓內，此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的零點可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內，則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。

逆系統

一系統 $\mathbb {H}$ 可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入，也就是可以找到系統 $\mathbb {H} _{inv}$ 使得若將 $\mathbb {H}$ 及 $\mathbb {H} _{inv}$ 二個系統連接，可以得到單位系統 $\mathbb {I}$ （可以參反矩陣）。

\mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} =\mathbb {I}

假設 ${\tilde {x}}$ 為系統 $\mathbb {H}$ 的輸入，其輸出為 ${\tilde {y}}$

\mathbb {H} \,{\tilde {x}}={\tilde {y}}

將 ${\tilde {y}}$ 作為逆系統的輸入，可得：

\mathbb {H} _{inv}\,{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}

因此可以用逆系統 $\mathbb {H} _{inv}$ ，找到輸出 ${\tilde {y}}$ 對應的唯一輸入 ${\tilde {x}}$ 。

離散時間的例子

假設系統 $\mathbb {H}$ 是離散時間的線性非時變系統（LTI），可以用冲激响应 $h(n)$ （n為整數）表示。而且，假設系統 $\mathbb {H} _{inv}$ 的冲激响应為 $h_{inv}(n)$ 。二個線性非時變系統的級聯為卷積。上述的關係可以以下式表示：

(h*h_{inv})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\,h_{inv}(n-k)=\delta (n)

其中 $\delta (n)$ 為克罗内克函数或是離散時間下的單位矩陣。注意其逆系統 $\mathbb {H} _{inv}$ 不一定要是唯一的。

最小相位系統

若系統再加上因果性且穩定性的條件時，其逆系統就是唯一的，而且系統 $\mathbb {H}$ 和逆系統 $\mathbb {H} _{inv}$ 都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下（針對非時變系統，其中的h為系統的沖激響應）：

因果性

h(n)=0\,\,\forall \,n<0

及

h_{inv}(n)=0\,\,\forall \,n<0

穩定性

\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h(n)\right|}=\|h\|_{1}<\infty

及

\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h_{inv}(n)\right|}=\|h_{inv}\|_{1}<\infty

在有界輸入有界輸出穩定性條目會看到對應連續系統的條件。

頻域分析

離散時間系統的頻域分析

將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性，其時域方程式如下。

(h*h_{inv})(n)=\,\!\delta (n)

進行Z轉換後可以得到以下的關係。

H(z)\,H_{inv}(z)=1

由於上述關係，可得

H_{inv}(z)={\frac {1}{H(z)}}

為了簡單起見，只考慮有理传递函数 H (z)。因果性及穩定性表示所有的H (z)极点都需要嚴格的在单位圆內（參照有界輸入有界輸出穩定性）。假設

H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}}

其中A (z)及D (z)是z的多項式。因果性及穩定性會使得D (z)的零点（根）需要嚴格的在单位圆內（不能在邊界上）。而

H_{inv}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}}

因此 $H_{inv}(z)$ 的因果性及穩定性也會使得為A (z)的零点需要嚴格的在单位圆內，上述二個條件下，最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在单位圆內。

連續時間系統的頻域分析

連續時間系統的分析和離散系統類似，不過會使用拉普拉斯变换，其時域的方程式如下。

(h*h_{inv})(t)=\,\!\delta (t)

其中 $\delta (t)$ 為狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是連續時間下的恒等算子，因為其和任意信號x (t)都會有篩選性質。

\delta (t)*x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)

進行拉普拉斯变换可得到以下S平面的關係。

H(s)\,H_{inv}(s)=1

也可以得到下式

H_{inv}(s)={\frac {1}{H(s)}}

為簡化起見，此處也只考慮有理传递函数H(s)。因果性及穩定性表示H (s)的所有极点都要嚴格的在左半S平面（參考有界輸入有界輸出穩定性）。假設

H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}}

其中A (s)及D (s)是s的多項式。 $H(s)$ 的因果性及穩定性表示D (s)的所有零點都在左半S平面內，而

H_{inv}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}}

$H(s)$ 的因果性及穩定性表示A (s)的所有零點都在左半S平面內，因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。

增益響應及相位響應的關係

不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統，都有一個常會用到的性質：增益頻率響應的自然對數（增益的對數單位為奈培，和分貝成正比），和頻率響應的相角（單位為弧度）有關，兩者的關係是希爾伯特轉換。在連續時間系統下，令

H(j\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }\

是系統H(s)的複數頻率響應。在最小相位系統下，系統H(s)的相位響應和增益響應的關係為

\arg \left[H(j\omega )\right]=-{\mathcal {H}}\lbrace \log \left(|H(j\omega )|\right)\rbrace \

以及

\log \left(|H(j\omega )|\right)=\log \left(|H(j\infty )|\right)+{\mathcal {H}}\lbrace \arg \left[H(j\omega )\right]\rbrace \

.

若用較精簡的方式表示，令

H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg \left[H(j\omega )\right]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )}\

其中 $\alpha (\omega )$ 和 $\phi (\omega )$ 都是實數下的實函數，則

\phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\lbrace \alpha (\omega )\rbrace \

及

\alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\lbrace \phi (\omega )\rbrace \

.

希爾伯特轉換算子定義為

{\mathcal {H}}\lbrace x(t)\rbrace \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\widehat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau \

.

在離散時間系統中也有等效的對應關係。

時域下的最小相位

針對所有有相同增益响应的因果穩定系統，最小相位系統的能量最集中在冲激响应的開始處，也就是說最小相位系統最小化了以下的函數（可以視為是冲激响应能量的延遲）。

\sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}\,\,\,\,\,\,\,\forall \,m\in \mathbb {Z} ^{+}

最小相位及最小群延遲

在所有增益响应相同的因果穩定系統中，最小相位系統的群延遲最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。

假設考慮传递函数 $H(z)$ 中的一個零点 $a$ ，先讓零点 $a$ 在单位圆內（ $\left|a\right|<1$ ），看對群延遲的影響。

a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\mbox{ where }}\,\theta _{a}={\mbox{Arg}}(a)

因為零点 $a$ 在传递函数中貢獻了 $1-az^{-1}$ 的因子，因此其對相位的貢獻如下：

\phi _{a}\left(\omega \right)={\mbox{Arg}}\left(1-ae^{-i\omega }\right)

={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)

={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)

={\mbox{Arg}}\left(\left\{1-\left|a\right|cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)

={\mbox{Arg}}\left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)

$\phi _{a}(\omega )$ 所貢獻的相延遲如下。

-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}

-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}

若將零点 $a$ 移到单位圆外的對應點，也就是 $(a^{-1})^{*}$ ，上式的分母和 $\theta _{a}$ 都不會變化，而分子的 $\left|a\right|$ 大小增加，因此讓 $a$ 在单位圆內可以讓群延遲中 $1-az^{-1}$ 的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個零点的情形，因為 $1-a_{i}z^{-1}$ 的相位是各項次相位相加的結果，因此，對於有 $N$ 個零點的传递函数，

{\mbox{Arg}}\left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}{\mbox{Arg}}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)

一個所有零点都在单位圆內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小，因為每個零点對群延遲的貢獻都降到最小。

上述計算的圖示。上下二部份是相同增益响应的濾波器（左圖為奈奎斯特图，右圖為相位響應），但上方零點

a=0.8<1

的系統，其相位響應的大小最小

非最小相位系統

若系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定，原系統即為非最小相位系統（non-minimum-phase）。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應，但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。

最大相位系統

最大相位系統（maximum-phase）是和最小相位系統有相反特性的系統，最大相位系統也是非最小相位系統（系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定），而且

離散時間系統下的零點都在單位圓外。
連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。

也就是其逆系統所有的極點都不穩定。

此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中，最大相位系統有最大的群延遲。在等增益響應的系統的系統中，最大相位系統有最大的能量延遲。

例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數

{\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}

這二個系統的增益響應相同，但第二個系統相位移的貢獻較大，因此第二個系統是最大相位系統，而第一個系統為最小相位系統。

混合相位系統

離散時間下的混合相位系統（mixed-phase）有些零點在單位圓內，有些零在單位圓外，其群延遲不是最小值，也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內，有些零點在右半平面。

例如連續時間系統

{\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}

是因果穩定系統，但有零點在左半平面，也有零點在右半平面，因此是混合相位系統。

線性相位

線性相位（linear-phase）系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。

參考資料

Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. . Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. 2000: 193. ISBN 0-13-022464-2.
J. O. Smith III, Introduction to Digital Filters with Audio Applications （页面存档备份，存于） (September 2007 Edition).

延伸閱讀

Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6

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[1] Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. . Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. 2000: 193. ISBN 0-13-022464-2.

[2] J. O. Smith III, Introduction to Digital Filters with Audio Applications （页面存档备份，存于） (September 2007 Edition).