李雅普诺夫稳定性

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考慮到針對非线性系统修改稳定理论，修正為以一個稳定点线性化的系統為基礎的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

给定一个完备的赋范向量空间E（例如${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$），设U是E的開子集。考慮一個自治的非线性动力系统：

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(t_{0})=x_{0}}$,

其中${\displaystyle x(t)\in U}$是系統的狀態向量，${\displaystyle f:U\rightarrow E}$是U上的连续函数。

假设函数f有一个零点：f(a) = 0，则常数函数：x = a是动力系统的驻定解（或称平衡解）。称a是动力系统的平衡點。

1. 称點a李雅普诺夫稳定（简称稳定），如果對每個${\displaystyle \epsilon >0}$，均存在${\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}$，使得对所有满足${\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }$的${\displaystyle x_{0}}$，只要${\displaystyle t\geqslant t_{0}}$，就有${\displaystyle \|x(t)-a\|<\epsilon }$。
2. 称點a漸近稳定，如果點a李雅普诺夫稳定，且存在${\displaystyle \delta >0}$，使得对所有满足 ${\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }$ 的${\displaystyle x_{0}}$，${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }x(t)=a}$。
3. 称點a指數稳定，如果點a漸近稳定，且存在 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta >0}$ 使得对所有满足${\displaystyle \|x_{0}-a\|<\delta }$的${\displaystyle x_{0}}$，只要${\displaystyle t\geqslant t_{0}}$，就有${\displaystyle \|x(t)-a\|\leq \alpha \|x_{0}-a\|e^{-\beta t}}$。

它们的直观几何意义是：

1. 平衡點為李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值「足夠接近」平衡點，則它會永遠維持在平衡點附近任意小的范围里（距平衡點的距離不超過任意选择的正实数 ${\displaystyle \epsilon }$）。
2. 漸近稳定的意思是，初值足夠接近平衡點的状态函数，不但維持在平衡點附近，而且最後會收敛到平衡點。
3. 指數稳定的意思是，状态函数不但最後會收敛到平衡點，且收敛速度不慢於某种指数递减的速度。

设有状态函数x，其初始取值为${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$。称${\displaystyle {\bar {x}}=\{x(t);\;t\geqslant t_{0}\}}$为x的轨迹。如果對所有初始值与x足够接近的状态函数y，两者的轨迹会趋于相同：

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|y(t)-x(t)\|\longrightarrow 0.}$

则称x的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對所有y均成立，則称x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的轨迹有吸引性，并且穩定，则x漸近稳定。不過，x有吸引性不表示它的轨迹漸近稳定。

離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。

给定度量空間${\displaystyle (X,d)}$。设${\displaystyle f\colon X\to X}$為一連續函數。稱點${\displaystyle a\in X}$為李雅普诺夫稳定，如果對任意${\displaystyle \epsilon >0}$，都存在${\displaystyle \delta >0}$，使得只要${\displaystyle x\in X}$满足${\displaystyle d(x,a)<\delta }$，就有

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;d(f^{n}(x),f^{n}(a))<\epsilon .}$

稱點a漸近穩定，如果a是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在${\displaystyle \delta >0}$，使得只要${\displaystyle x\in X}$满足${\displaystyle d(x,a)<\delta }$，就有

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(f^{n}(x),f^{n}(a))=0}$

對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普诺夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。

一個線性的狀態空間模型

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$

為漸近穩定（其實是指數穩定），若

${\displaystyle A^{T}M+MA+N=0}$

的解存在。

其中 ${\displaystyle N=N^{T}>0}$ 且 ${\displaystyle M=M^{T}>0}$ （正定矩陣）。（對應的李雅普诺夫函數為${\displaystyle V(x)=x^{T}Mx}$）

一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f(x,u)}}}$

其中輸入 u(t) 可視為控制、外部輸入、擾動、刺激或外力。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一，也應用在控制工程中。

對於有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具，在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。

• 李亞普諾夫函數
• 摄动理论
• 拉薩爾不變集原理

• 本條目含有来自PlanetMath《asymptotically stable》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。

• Lyapunov A.M. Stability of motion, Academic Press, New-York and London,1966
• Zakhama, R.; Hadj Brahim, A.B.B.; Braiek, N.B. . Computational and Applied Mathematics. October 2016, 37: 1130–1141. doi:10.1007/s40314-016-0388-7.
• https://web.archive.org/web/20090703102428/http://www.mne.ksu.edu/research/laboratories/non-linear-controls-lab