輸入-狀態穩定性

考慮非時變常微分方程，其形式如下

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}$

(1)

其中${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}}$是勒贝格测度有本質確界的外部輸入，且 ${\displaystyle f}$是利普希茨連續函數。這可以確保系統(1)有唯一绝对连续的解。

若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的比較函數分類。令${\displaystyle {\mathcal {K}}}$（K類函數）為連續遞增函數${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}} ，且${\displaystyle \gamma (0)=0}$形成的集合，令${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}$為無界函數${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$，再令${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$（KL類函數）為若${\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}$在所有的${\displaystyle t\geq 0}$都成立，而且針對所有的${\displaystyle r>0}$，${\displaystyle \beta (r,\cdot )}$連續，且嚴格遞減至0。

系統(1)稱為在原點全域漸近穩定（0-GAS），若對應的零輸入系統

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,0),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}$

(WithoutInputs)

是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在 ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$使得針對所有的初值 ${\displaystyle x_{0}}$以及任意時間${\displaystyle t\geq 0}$，以下有關(WithoutInputs)解的估計都有效＞：

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).}$

(GAS-Estimate)

系統(1)稱為輸入-狀態穩定性（ISS）若存在函數 ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$且${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$使得針對所有初值${\displaystyle x_{0}}$，所有可行的輸入${\displaystyle u}$以及任意時間${\displaystyle t\geq 0}$，以下的不等式都成立

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

(2)

上述不等式中的函數${\displaystyle \gamma }$稱為增益（gain）。

很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。

也可以證明若在${\displaystyle t\to \infty }$時，${\displaystyle |u(t)|\to 0}$，則在${\displaystyle t\to \infty }$時，${\displaystyle |x(t)|\to 0}$。

為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。

系統(1)為全域穩定（GS），若存在 ${\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}$，使得對於${\displaystyle \forall u}$、${\displaystyle \forall t\geq 0}$及${\displaystyle \forall x_{0}}$，下式都成立

${\displaystyle |x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

(GS)

系統(1)滿足漸近增益（AG）特性，若存在${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$，使得對於${\displaystyle \forall x_{0}}$, ${\displaystyle \forall u}$，下式都成立

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }|x(t)|\leq \gamma (\|u\|_{\infty }).}$

(AG)

以下的描述都是等效的 [4]：

1. (1)有ISS（輸入-狀態穩定性）
2. (1)是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性
3. (1)是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性

在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性[4][5]。

ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。

光滑函數${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$是系統(1)的ISS-李亞普諾夫函數，若${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$, ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$，以及正定函數 ${\displaystyle \alpha }$，使得下式成立：

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

以及 ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$，下式成立：

${\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}$

函數${\displaystyle \chi }$稱為李亞普諾夫增益（Lyapunov gain）。

若系統(1)沒有輸入（也就是${\displaystyle u\equiv 0}$），則最後一式可以簡化如下

${\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}$

因此${\displaystyle V}$也是（一般定義的）李亞普諾夫函數。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統(1)為ISS，若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數[5]。

考慮一系統

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}$

定義候選的ISS-李亞普諾夫函數${\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$如下 ${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}$

選擇李亞普諾夫增益${\displaystyle \chi }$為

${\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}$.

可以得到在${\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}$的條件下，下式成立

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}$

可得${\displaystyle V}$是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為${\displaystyle \chi }$。

考慮非時變的时滞微分方程

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.}$

(TDS)

其中${\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}$是系統(TDS)在時間${\displaystyle t}$的狀態，${\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}$及${\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}$需滿足特定假設，以確保系統(TDS)的解存在且唯一。

系統(TDS)為ISS，若且唯若存在函數${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$及${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$，使得針對所有${\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}$，所有可行的輸入，在任意時間${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$下，下式都成立

${\displaystyle \left|x(t)\right|\leq \beta (\left\|\xi \right\|_{\left[-\theta ,0\right]},t)+\gamma (\left\|u\right\|_{\infty }).}$

(ISS-TDS)

在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數[9]及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函[10]。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理[11]。

以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統[12]、混合系統[13][14]。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法[15][16][1][17]。