梅森素数

• ${\displaystyle M_{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}-1=\sum _{i=0}^{n-1}2^{i}}$。

• q≡3mod4为素数。则2q＋1是素数的充分必要条件是2q＋1整除M_q ，因此對於這些素數q（除了3），M_q不可能會是質數，前幾個這樣的素數q為11、23、83、131、179、191、239、251、359、419、431、443、491、659、683、719、743、911、1019、1031、1103、1223、1439、1451、1499、… （OEIS數列A002515）

• 拉馬努金－南哥尔方程（Ramanujan–Nagell Equation）：M_q＝6＋x²。当q为3、5和7时，M_q为梅森素数，方程有整数解；q为合数4和15时，方程亦有整数解；q为其它自然数时，方程没有整数解。

• 如果p是奇素数，任何能整除2^p − 1的素数q都一定是2p的倍数加1，如2¹¹ − 1＝23×89，而23＝1＋2×11，89＝1＋8×11。

• 如果p是奇素数，任何能整除2^p − 1的素数q都一定与${\textstyle \pm 1{\pmod {8}}}$同余。

下面的命题关注什么梅森数是梅森素数。

• 由${\displaystyle 2^{ab}-1=(2^{a}-1)\times \sum _{i=0}^{b-1}2^{ia}}$知：「q是素数」是「M_q是素数」的必要条件，但不是充分条件。M₁₁＝2¹¹ − 1＝23×89是最小的反例。
• 对M_q（q是素数）有：
  • 若a是M_q的因数，则a有如下性质：
    • a ≡ 1 mod 2q
    • a ≡ ±1 mod 8
  • 形如6k＋1的数有欧拉理论表明：当且仅当有数对（x，y）使M_q＝（2x）²＋3（3y）²，M_q是素数，其中q≥5。
  • 最近，Bas jansen研究了等式M_q＝x²＋dy²（0≤d≤48），得出了d＝3時的新证明方法。
  • Reix发现q＞3时，M_q可写成M_q＝（8x）²－（3qy）²＝（1＋Sq）²－（Dq）²；显然，若有数对（x，y），M_q就是素数。

• 卢卡斯－莱默检验法是现在已知的检测梅森数素数的最好的方法。
  • 该方法由爱德华·卢卡斯于1878年发现，并由德里克·亨利·莱默于1930年代改进，因此得名。
  • 该方法基于循环数列的计算，其原理是：

M_n为素数当且仅当M_n整除S_n-2（S₀＝4，S_k＝S²_k−1 − 2，k＞0），此數列為4、14、194、37634、1416317954、2005956546822746114、4023861667741036022825635656102100994、…（OEIS數列A003010）

• 梅森素数与偶完全数有一一对应的关系，稱為歐幾里得－歐拉定理。
  • 前4世纪，欧几里得（Euclid）证明如果M是梅森素数，則${\textstyle {\frac {M(M+1)}{2}}}$是完全数。
  • 18世纪，欧拉（Euler）证明所有偶完全数都有这种形式。

  古代知道的梅森素数

  以試除法發現的梅森素数

  梅森遺漏的梅森素数

  GIMPS發現的梅森素数

  拉斐爾·米切爾·羅賓遜發現的梅森質數

  亞歷山大·赫維茲發現的梅森質數

  Donald B. Gillies發現的梅森質數

  Walt Colquitt和Luke Welsh發現的梅森質數

下表列出所有已知的梅森素数： A000668

注：现在还不知道第48个梅森素数（M_57885161）和第51个（M_82589933）间是否还有未知梅森素数，其序号用^*标出，如有會通知遞補。