機率流

機率流滿足量子力學的連續方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$ ；

其中，${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}$ 是機率密度。

應用高斯公式，等價地以積分方程式表示，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0}$ ；(1)

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$ 是任意三維區域，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的通量，兩者的總和等於零。

測量粒子在三維區域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 內的機率 ${\displaystyle P}$ 是

${\displaystyle P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$ 。

機率對於時間的導數是

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ ；(2)

假設 ${\displaystyle \Psi }$ 的含時薛丁格方程式為

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }$ ；

其中，${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$ 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

應用一則向量恆等式，可以得到

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}$ 。

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

這相等式對於任意三維區域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$ 。

設定一個粒子的波函數 ${\displaystyle \Psi }$ 為三維空間的平面波，

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=Ae^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{i\omega t}}$ ；

其中，${\displaystyle A}$ 是振幅常數，${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是波數，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是位置，${\displaystyle \omega }$ 是角頻率，${\displaystyle t}$ 是時間。

${\displaystyle \Psi }$ 的機率流是

${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}}$ 。

這只是振幅的平方乘以粒子的速度 ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {p} }{m}}={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}}$ 。

請注意，雖然這平面波是定態，在每一個的地點，${\displaystyle {\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0}$ ，但是機率流仍舊不等於 ${\displaystyle 0}$ 。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。

一維盒子位勢，即一個無限深方形阱，阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。

思考一維盒中粒子問題，能級為 ${\displaystyle E_{n}}$ 的本徵波函數 ${\displaystyle \Psi _{n}}$ 是

${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right),\qquad 0\leq x\leq L}$ ；

其中，${\displaystyle L}$ 是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在 ${\displaystyle x=0}$ 與 ${\displaystyle x=L}$ 。

由於 ${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}}$ ，其機率流為

${\displaystyle J_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$ 。