正交座標系

在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標 $\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots \ q_{n})$ ，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐標曲面定義為特定坐標 $q_{i}$ 的等值曲面，即 $q_{i}$ 為常数的曲线、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 是一種正交坐標系，它的 $x$ 為常數， $y$ 為常數， $z$ 為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。

动机

正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子 $H_{2}\,^{-}$ 的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的 $n$ 維問題變為 $n$ 個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程可以在13个正交坐标系中分离（本文列出的14个中圆环坐标系除外），而亥姆霍茲方程可以在11个正交坐标系中分离[1][2]。

概述

共形映射作用于矩形网格。注意，弯曲的网格的正交性被保留。

正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方 $ds^{2}$ ，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：

ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(h_{i}dq_{i}\right)^{2}

；

其中， $n$ 是維數，標度因子 $h_{i}$ 是度規張量的對角元素 $g_{ii}$ 的平方根：

h_{i}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{ii}(\mathbf {q} )}}

。

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系 $(x,\ y)$ 的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數 $z=x+iy$ 的任何全純函數 $w=f(z)$ ，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為 $w=u+iv$ ，則 $u$ 與 $v$ 的等值曲線以直角相交，就如同原本的 $x$ 與 $y$ 的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的正交轨迹线而得到。

向量代数

在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}

。

向量微積分

從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標 $q_{i}$ 的無窮小改變 $dq_{i}$ ，其相伴的長度是 $ds_{i}=h_{i}dq_{i}$ 。因此，一個位移向量的全微分 $d\mathbf {r}$ 等於

d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}h_{i}dq_{i}\mathbf {e} _{i}

；

其中， $\mathbf {e} _{i}$ 是垂直於 $q_{i}$ 等值曲面的單位向量，指向著 $q_{i}$ 增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此，向量 $\mathbf {F}$ 沿著周線 $\mathbb {C}$ 的線積分等於

\int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {C} }F_{i}h_{i}dq_{i}

；

其中， $F_{i}$ 是向量 $\mathbf {F}$ 在單位向量 $\mathbf {e} _{i}$ 方向的分量：

F_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F}

。

類似地，一個無窮小面積元素是

dA=ds_{i}ds_{j}=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j},\qquad i\neq j

，

一個無窮小體積元素是

dV=ds_{i}ds_{j}ds_{k}=h_{i}h_{j}h_{k}dq_{i}dq_{j}dq_{k},\qquad i\neq j\neq k

。

例如，向量 $\mathbf {F}$ 對於一個曲面 $\mathbb {S}$ 的曲面積分是

\int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{1}h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}+\int _{\mathbb {S} }F_{2}h_{3}h_{1}dq_{3}dq_{1}+\int _{\mathbb {S} }F_{3}h_{1}h_{2}dq_{1}dq_{2}

。

球坐標系實例

直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 與球坐標 $(r,\ \theta ,\phi )$ 的變換方程式為

x=r\sin \theta \cos \phi

、

y=r\sin \theta \sin \phi

、

z=r\cos \theta

。

直角坐標的全微分是

dx=\sin \theta \cos \phi dr+r\cos \theta \cos \phi d\theta -r\sin \theta \sin \phi d\phi

、

dy=\sin \theta \sin \phi dr+r\cos \theta \sin \phi d\theta +r\sin \theta \cos \phi d\phi

、

dz=\cos \theta dr-r\sin \theta d\theta

。

所以，無窮小距離的平方是

{\begin{aligned}ds^{2}&=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\\&=dr^{2}+(rd\theta )^{2}+(r\sin \theta d\phi )^{2}\\\end{aligned}}

。

標度因子是

h_{r}=1

、

h_{\theta }=r

、

h_{\phi }=r\sin \theta

。

向量 $\mathbf {F}$ 沿著周線 $\mathbb {C}$ 的線積分等於

\int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbb {C} }F_{r}\ dr+F_{\theta }\ rd\theta +F_{\phi }\ r\sin \theta d\phi

。

向量 $\mathbf {F}$ 對於一個曲面 $\mathbb {S}$ 的曲面積分是

\int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{r}\ r^{2}\sin \theta d\theta d\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\theta }\ r\sin \theta drd\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\phi }\ rdrd\theta

。

三維微分算子

算子	正交坐標公式
标量场的梯度	$\nabla \Phi ={\hat {\mathbf {e} }}_{1}{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}$
向量场的散度	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(F_{2}h_{3}h_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(F_{3}h_{1}h_{2})\right]$
向量场的旋度	${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\&+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]\\\end{aligned}}$
标量场的拉普拉斯算子	$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]$

上面表达式可以使用列維-奇維塔符號 $\epsilon$ 的更简洁形式书写，定义 $H=h_{1}h_{2}h_{3}$ ，并使用爱因斯坦记号，即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和:

算子	表达式
标量场的梯度	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}$
向量场的散度	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}}}F_{k}\right)$
向量场（只3D）的旋度	$\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)_{k}={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{H}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}F_{j}\right)$
标量场的拉普拉斯算子	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)$

二维正交坐标系表格


坐标系	复数变换 $x+iy=f(u+iv)$	$u$ 和 $v$ 等值线的形状	注释
直角	$u+iv$	直线, 直线
对数极	$\exp(u+iv)$	圆, 直线	若 $u=\ln r$ 则为极坐标系
抛物线	${\frac {1}{2}}(u+iv)^{2}$	抛物线, 抛物线
点偶极	$(u+iv)^{-1}$	圆, 圆
椭圆	$\cosh(u+iv)$	椭圆, 双曲线	对于大距离看似对数极
双极	$\coth(u+iv)$	圆, 圆	对于大距离看似点偶极
	${\sqrt {u+iv}}$	双曲线, 双曲线
	$u=x^{2}+2y^{2},\ y=vx^{2}$	椭圆, 抛物线

直角

单极

对数极

椭圆-抛物线

抛物线

点偶极

sqrt(u+iv)

椭圆

双极

反对数极

三维正交坐标系表格

除了直角坐标系之外，下表列出其他常见的正交坐标系[3]，为了简明性在坐标列中使用了区间符号。

曲线坐标 (q₁, q₂, q₃)	从直角坐标(x, y, z)转换	缩放因子
球极坐标系 $(r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}$
圆柱坐标系 $(\rho ,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=\rho \cos \phi \\y&=\rho \sin \phi \\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=\rho \end{aligned}}$
抛物柱面坐标系 $(u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
抛物线坐标系 $(u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}$
椭圆柱坐标系 $(u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
长球面坐标系 $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$
扁球面坐标系 $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$
双极圆柱坐标系 $(u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
圆环坐标系 $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
双球坐标系 $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
圆锥坐标系 ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}$	${\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$
抛物面坐标系 ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <b^{2}<\mu <a^{2}<\nu \end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}$ 其中 $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}$
椭球坐标系 ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1$ 其中 $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}$

微分算子导引

梯度導引

一個函數 $\phi$ 的梯度朝某個方向 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 的分量，等於方向導數 ${\frac {d\phi }{ds}}$ 朝 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 方向的值：

\nabla \Phi \cdot {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {d\phi }{ds}}

；

其中， $ds$ 是朝 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 方向的無窮小位移。

假若，這 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 與正交坐標軸 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 同方向。那麼， $ds=h_{i}dq_{i}$ 。所以，函數 $\phi$ 的梯度朝 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 的分量是 ${\frac {\partial \phi }{h_{i}\partial q_{i}}}$ ；也就是說，

\nabla \Phi ={\hat {\mathbf {e} }}_{1}{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}

。

散度導引

\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})

。

取右手邊第一個項目，

\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \cdot \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\left(h_{2}h_{3}F_{1}\right)\right]

。

應用向量恆等式 $\nabla \cdot (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot (\nabla \phi )$ 與 $\nabla \cdot (\nabla \phi _{1}\times \nabla \phi _{2})=0$ ，可以得到

{\begin{aligned}\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot [(\nabla q_{2})\times \nabla (q_{3})]+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})\\\end{aligned}}

。

總合所有項目，

\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(F_{2}h_{3}h_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(F_{3}h_{1}h_{2})\right]

。

旋度導引

\nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})

。

取右手邊第一個項目，

\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \times \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\left(h_{1}F_{1}\right)\right]

。

應用向量恆等式 $\nabla \times (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times (\nabla \phi )$ ，

{\begin{aligned}\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{1}F_{1})\nabla \times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \nabla (h_{1}F_{1})\\&=(h_{1}F_{1})\nabla \times (\nabla q_{1})-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})\right)\\\end{aligned}}

。

應用向量恆等式 $\nabla \times (\nabla \phi )=0$ ，

\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{1}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})-{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})

。

總合所有項目，

{\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\&+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]\\\end{aligned}}

。

拉普拉斯算子

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]

。

引用

Eric W. Weisstein. . MathWorld. [10 July 2008]. （原始内容存档于2014-11-12）.
Morse and Feshbach 1953，Volume 1, pp. 494-523, 655-666.
Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

参见

坐标系
曲线坐标系
斜交坐标系（度規張量有非對角項目）
在圆柱和球坐标系中的del

參考文獻

Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。

Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。

Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。

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[1] Eric W. Weisstein. . MathWorld. [10 July 2008]. （原始内容存档于2014-11-12）.

[2] Morse and Feshbach 1953，Volume 1, pp. 494-523, 655-666.

[3] Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7