相互作用繪景

在狄拉克繪景裏，態向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}\,\!}$定義為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}{\stackrel {def}{=}}e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$是在薛丁格繪景裏的態向量。

由於在薛丁格繪景裏， 態向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$與時間的關係為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iH_{\mathcal {S}}\,t/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$，

所以，在${\displaystyle H_{0,{\mathcal {S}}},H_{\mathcal {S}}}$对易的條件下，可以有

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{-iH_{1,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$。

在狄拉克繪景裏的算符${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)\,\!}$定義為

${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}(t)\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$；

其中，${\displaystyle A_{\mathcal {S}}(t)\,\!}$是在薛丁格繪景裏對應的算符。

（請注意，${\displaystyle A_{\mathcal {S}}(t)\,\!}$通常不含時間，可以重寫為${\displaystyle A_{\mathcal {S}}\,\!}$。反例，對於時變外電場的狀況，哈密頓算符${\displaystyle H_{\mathcal {S}}(t)\,\!}$含時。）

假若${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$不含時，則${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$與${\displaystyle e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$ 對易，不論在薛丁格繪景裏或在狄拉克繪景裏，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$與${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$的形式都是一樣：[註 1]

${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}(t)=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }=H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$。

所以，算符${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$與${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$都可以簡略標記為${\displaystyle H_{0}\,\!}$，不會造成歧意。

哈密頓算符的微擾成分${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$是

${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t)=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$；

除非對易關係式${\displaystyle [H_{1,\,{\mathcal {S}}},H_{0,\,{\mathcal {S}}}]=0\,\!}$，在狄拉克繪景裏，${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$含時。

與算符類似，在薛丁格繪景裏的密度矩陣也可以變換到在狄拉克繪景裏。設定${\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}\,\!}$和${\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}\,\!}$分別為在狄拉克繪景裏和在薛丁格繪景裏的密度矩陣。假若，處於量子態${\displaystyle |\psi _{n}\rangle \,\!}$的機率是${\displaystyle p_{n}\,\!}$，則

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\mathcal {I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}|\psi _{n}(t)\rangle _{\mathcal {I}}\,{}_{\mathcal {I}}\langle \psi _{n}(t)|\\&=\sum _{n}p_{n}\,e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }|\psi _{n}(t)\rangle _{\mathcal {S}}\,{}_{\mathcal {S}}\langle \psi _{n}(t)|e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\\&=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(t)\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\\\end{aligned}}\,\!}$。

從態向量的定義式，可以得到態向量對於時間的導數是

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }\left[-H_{0}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}+i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\right]\\&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }\left[-H_{0}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}+H_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\right]\\&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }H_{1,\,{\mathcal {S}}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\\&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}\\\end{aligned}}}$

將算符的定義式代入，可以得到

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=H_{1,\,{\mathcal {I}}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}\,\!}$。

這是施溫格-朝永振一郎方程式的一個較為簡單的形式。[4]^:153-155

假若算符${\displaystyle A_{\mathcal {S}}\,\!}$不含時，則其對應的${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)\,\!}$的時間演化為

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\mathcal {I}}(t)&=i\hbar {\frac {d}{dt}}(e^{iH_{0}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar })\\&=-H_{0}\,e^{iH_{0}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar }+e^{iH_{0}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar }H_{0}\\&=A_{\mathcal {I}}(t)H_{0}-H_{0}A_{\mathcal {I}}(t)\\&=\left[A_{\mathcal {I}}(t),\,H_{0}\right]\\\end{aligned}}\,\!}$。

這與在海森堡繪景裏，算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)\,\!}$的時間演化類似：

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\mathcal {H}}(t)=\left[A_{\mathcal {H}}(t),\,H\right]\,\!}$。

應用施溫格-朝永振一郎方程式於密度矩陣，則可得到

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{\mathcal {I}}(t)=\left[H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t),\rho _{\mathcal {I}}(t)\right]\,\!}$。