電磁波方程式

正弦函數和餘弦函數的曲線是不同相位的正弦曲線。

假設，函數${\displaystyle g\,\!}$的波形為正弦波：

${\displaystyle f=f_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})\,\!}$；

其中，${\displaystyle {f}_{0}\,\!}$是實值波幅，${\displaystyle \phi _{0}\,\!}$是初相位。

根據歐拉公式，

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,\!}$，

函數${\displaystyle f\,\!}$也可以表達為一個複數的實值部分

${\displaystyle f=\operatorname {Re} \{f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}\}\,\!}$。

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$為

${\displaystyle {\tilde {f}}=f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}={\tilde {f}}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=f_{0}e^{i\phi _{0}}\,\!}$是複值波幅。

那麼，

${\displaystyle f=\operatorname {Re} \{{\tilde {f}}\}\,\!}$；

純量波動方程式的正弦波解的形式為${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$的實值部分。任意涉及實函數${\displaystyle f\,\!}$的線性方程式，都可以用複函數${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$來代替${\displaystyle f\,\!}$。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。

任意波動${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}$可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!}$。

所以，只要能得知單獨頻率的波動${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )\,\!}$（單色波）的表達式，就可以求算整個波動${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}$的表達式。

電磁波是橫波，電場方向與磁場方向相互垂直，又都垂直於傳播方向。

從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$、

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {B} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}\,\!}$、${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}\,\!}$分別為複值電場${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}$和複值磁場${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}}$的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$的方向。由於方程式(1)和(3)，

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=0\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}=0\,\!}$，

電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。

由於法拉第電磁感應定律方程式(2)，

${\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=\left(\nabla e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\right)\times {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }}\,\!}$。

將角頻率與波數的色散關係式${\displaystyle \omega =ck\,\!}$帶入：

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}={\frac {\mathbf {k} }{\omega }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}\,\!}$。

所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。

電磁波譜顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}$。

波向量與角頻率的關係為

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }\,\!}$；

其中，${\displaystyle \lambda \,\!}$是波長。

按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

原柱對稱形共軸傳輸線

如圖右，思考一條由半徑為${\displaystyle a\,\!}$的無窮長的直導線，和半徑為${\displaystyle b\,\!}$的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸${\displaystyle E_{z}=0\,\!}$和${\displaystyle B_{z}=0\,\!}$的電磁橫波，採用圓柱坐標${\displaystyle (s,\phi ,z)\,\!}$，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為[2]

${\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {{\mathbf {E} }_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!}$、

${\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!}$。

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩${\displaystyle m=m_{0}\cos(\omega t)\,\!}$。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標${\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,\!}$，則在離原點很遠的位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$，電場和磁場分別為[2]

${\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!}$、

${\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!}$。

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。