卢卡斯-莱默检验法

我们希望证明${\displaystyle s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}}}$意味着${\displaystyle M_{p}}$是素数。我们叙述一个利用初等群论的证明，由J. W.布鲁斯给出[2]。

假设${\displaystyle s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}}}$。那么对于某个整数k，有${\displaystyle \omega ^{2^{p-2}}+{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}=kM_{p}}$，以及：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\omega ^{2^{p-2}}&=&kM_{p}-{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}\\\left(\omega ^{2^{p-2}}\right)^{2}&=&kM_{p}\omega ^{2^{p-2}}-(\omega {\bar {\omega }})^{2^{p-2}}\\\omega ^{2^{p-1}}&=&kM_{p}\omega ^{2^{p-2}}-1.\quad \quad \quad \quad \quad (1)\\\end{array}}}$

现在假设M_p是合数，其非平凡素因子q > 2（所有梅森素数都是奇数）。定义含有q²个元素的集合${\displaystyle X=\{a+b{\sqrt {3}}|a,b\in \mathbb {Z} _{q}\}}$，其中${\displaystyle \mathbb {Z} _{q}}$是模q的整数，是一个有限域。X中的乘法运算定义为：

${\displaystyle (a+b{\sqrt {3}})(c+d{\sqrt {3}})=[(ac+3bd){\hbox{ mod }}q]+[(bc+ad){\hbox{ mod }}q]{\sqrt {3}}}$.

由于q > 2，因此${\displaystyle \omega }$和${\displaystyle {\bar {\omega }}}$位于X内。任何两个位于X内的数的乘积也一定位于X内，但它不是一个群，因为不是所有的元素x都有逆元素y，使得xy = 1。如果我们只考虑有逆元素的元素，我们便得到了一个群X*，它的大小最多为${\displaystyle q^{2}-1}$（因为0没有逆元素）。

现在，由于${\displaystyle M_{p}\equiv 0{\pmod {q}}}$，且${\displaystyle \omega \in X}$，我们有${\displaystyle kM_{p}\omega ^{2^{p-2}}=0}$，根据方程(1)可得${\displaystyle \omega ^{2^{p-1}}=-1}$。两边平方，得${\displaystyle \omega ^{2^{p}}=1}$，证明了${\displaystyle \omega }$是可逆的，其逆元素为${\displaystyle \omega ^{2^{p}-1}}$，因此位于X*内，它的目能整除${\displaystyle 2^{p}}$。实际上，这个阶必须等于${\displaystyle 2^{p}}$，因为${\displaystyle \omega ^{2^{p-1}}\neq 1}$，因此这个阶不能整除${\displaystyle 2^{p-1}}$。由于群元素的阶最多就是群的大小，我们便得出结论，${\displaystyle 2^{p}\leq q^{2}-1<q^{2}}$。但由于q是${\displaystyle M_{p}}$的一个非平凡素因子，我们必须有${\displaystyle q^{2}\leq M_{p}=2^{p}-1}$，得出矛盾${\displaystyle 2^{p}<2^{p}-1}$。因此${\displaystyle M_{p}}$是素数。

我们假设${\displaystyle M_{p}}$是素数，欲推出${\displaystyle s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}}}$。我们叙述一个Öystein J. R. Ödseth的证明[3]。首先，注意到3是模 M_p的二次非剩余，这是因为对于奇数p > 1，2 ^p − 1只取得值7 mod 12，因此从勒让德符号的性质可知${\displaystyle (3|M_{p})}$是−1。根据欧拉准则，可得：

${\displaystyle 3^{(M_{p}-1)/2}\equiv -1{\pmod {M_{p}}}}$.

另一方面，2是模${\displaystyle M_{p}}$的二次剩余，这是因为${\displaystyle 2^{p}\equiv 1{\pmod {M_{p}}}}$，因此${\displaystyle 2\equiv 2^{p+1}=\left(2^{(p+1)/2}\right)^{2}{\pmod {M_{p}}}}$。根据欧拉准则，可得：

${\displaystyle 2^{(M_{p}-1)/2}\equiv 1{\pmod {M_{p}}}}$.

接着，定义${\displaystyle \sigma =2{\sqrt {3}}}$，并像前面那样，定义X*为${\displaystyle \{a+b{\sqrt {3}}|a,b\in \mathbb {Z} _{M_{p}}\}}$的乘法群。我们将用到以下的引理：

${\displaystyle (x+y)^{M_{p}}\equiv x^{M_{p}}+y^{M_{p}}{\pmod {M_{p}}}}$

（根据费马小定理），以及

${\displaystyle a^{M_{p}}\equiv a{\pmod {M_{p}}}}$

对于所有整数a（费马小定理）。

那么，在群X*中，我们有：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(6+\sigma )^{M_{p}}&=&6^{M_{p}}+(2^{M_{p}})({\sqrt {3}}^{M_{p}})\\&=&6+2(3^{(M_{p}-1)/2}){\sqrt {3}}\\&=&6+2(-1){\sqrt {3}}\\&=&6-\sigma .\end{array}}}$

简单计算可知 ${\displaystyle \omega =(6+\sigma )^{2}/24}$。我们可以用这个结果来计算群X*中的${\displaystyle \omega ^{(M_{p}+1)/2}}$：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\omega ^{(M_{p}+1)/2}&=&(6+\sigma )^{M_{p}+1}/24^{(M_{p}+1)/2}\\&=&(6+\sigma )^{M_{p}}(6+\sigma )/(24\times 24^{(M_{p}-1)/2})\\&=&(6-\sigma )(6+\sigma )/(-24)\\&=&-1.\end{array}}}$

其中我们用到了以下的事实：

${\displaystyle 24^{(M_{p}-1)/2}=(2^{(M_{p}-1)/2})^{3}(3^{(M_{p}-1)/2})=(1)^{3}(-1)=-1}$。

由于${\displaystyle M_{p}\equiv 3{\pmod {4}}}$，我们还需要做的就是把方程的两边乘以${\displaystyle {\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}}$，并利用${\displaystyle \omega {\bar {\omega }}=1}$：

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\omega ^{(M_{p}+1)/2}{\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}&=&-{\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}\\\omega ^{(M_{p}+1)/4}+{\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}&=&0\\\omega ^{(2^{p}-1+1)/4}+{\bar {\omega }}^{(2^{p}-1+1)/4}&=&0\\\omega ^{2^{p-2}}+{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}&=&0\\s_{p-2}&=&0.\\\end{array}}}$

由于s_p−2是整数，且在X*内是零，因此它也是零mod M_p。