X²+1素数

在1912年的国际数学家大会上，愛德蒙·蘭道就素數理論的發展和黎曼ζ函數作演說，當中他提到有四個關於素數的問題，是“以目前的科學狀況無法攻克”的。第四個問題便是：“函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數？”[2]

更一般地，設f(x)=ax^2+bx+c為整系數二次函數。可以證明，若f(x)能取無窮多次的質數值，那麼a, b, c須符合以下條件：

1. a, b, c的最大公约数為1
2. a+b和c不能都是偶数
3. b²-4ac不是完全平方数

一個廣義化的猜想便是，若a為正數且a, b, c符合上述3個條件，那麼f(x)便能取無窮多次的質數值（見布尼亚科夫斯基猜想）。[3]

1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜測[2]：

${\displaystyle \#\left(\{n:n=k^{2}+1\,{\text{and}}\,n<x\}\cap \mathbb {P} \right)\sim \prod _{p>2 \atop {p\in \mathbb {P} }}\left[1-{\frac {1}{p-1}}\left({\frac {-1}{p}}\right)\right]{\frac {\sqrt {x}}{\ln x}}}$

根據弗里德蘭德-伊萬涅茨定理，存在無窮多個形如${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$的質數。

在1978年，亨里克·伊万涅茨證明了存在無窮多個x，使得${\displaystyle x^{2}+1}$至多是兩個質數的積。

由于问题的困难，人们开始关注X²+1合数，企图从X²+1合数的蛛丝马迹中寻找X²+1素数。发现许许多多X²+1合数有平方因子

例如：18²+1=325=5²×13；32²+1=1025=5²×41；38²+1=1445=5×17²；68²+1=4625=5³×37；70²+1=4901=13²×29；....。

这是一个佩尔方程形式：

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=\pm 1}$

38²-5×17²=-1；70²-29×13²=-1。

• Kaisa Matomäki, Approaches to primes of the form aq² + 1 （页面存档备份，存于）, Department of Mathematics, University of London, 2008. section 1.
• . primepuzzles.net. [2012-04-20]. （原始内容存档于2018-10-19）.
• Stephan Baier, Liangyi Zhao. (PDF). Anatomy of Integers, CRM Proc. & Lecture Notes: 166 – 169.

• 素数判定法则
• 蘭道問題
• 布尼亞科夫斯基猜想
• 欣策爾假設H