相對論角動量

角動量的古典力學定義可沿用在狹義相對論與廣義相對論，但需做一些調整。

古典力學中，一粒子的軌道角動量是由其瞬時三維位置向量x = (x₁, x₂, x₃) = (x, y, z)與動量向量p = (p₁, p₂, p₃) = (p_x, p_y, p_z)以叉積來定義的，其結果為一軸向量：

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

其三個分量為：

${\displaystyle L_{3}=x_{1}p_{2}-x_{2}p_{1}}$

${\displaystyle L_{1}=x_{2}p_{3}-x_{3}p_{2}}$

${\displaystyle L_{2}=x_{3}p_{1}-x_{1}p_{3}\,.}$

這個物理量可以加成。對孤立系統而言，總角動量是守恆的。然而這項定義只可用在三維空間——叉積定義出一個軸向量，垂直於由x與p所架構出的平面。在四維的情形，不僅只一個軸可以垂直此二維平面，實際上有兩個軸。

另一種定義將軌道角動量視為一個平面單元（plane element）。將叉積改成外代數中的楔積，角動量則變為逆變二階反對稱張量：[2]

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} }$

其分量為：

${\displaystyle L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=2x^{[i}p^{j]}}$

指標i跟j的值為1、2、3。這些分量組合成一個3 × 3反對稱矩陣：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$