谱半径

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

命題：令A ∈ C^n×n，其譜半徑為ρ(A)，以及相容（Consistent）矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數${\displaystyle k\geqslant 1}$:

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

證明

令(v, λ)為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}$

因為v ≠ 0，可得

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$

因此

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

有關n個頂點，m個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

其中${\displaystyle 3\leq k\leq n}$為整數，則[1] ：

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$

谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：

定理：令A ∈ C^n×n，其譜半徑ρ(A)。則ρ(A) < 1若且唯若

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$

另一方面，若ρ(A) > 1, ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$。上述敘述針對C^n×n上的任何矩陣範數都有效。

假設問題中的極限值為零，可以證明ρ(A) < 1。令(v, λ)為A的特征值和特征向量對。因為A^kv = λ^kv可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}$

因為假設v ≠ 0，會得到

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}$

表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下來假設A的譜半徑小於1。根據若尔当标准型定理，可以知道針對所有的A ∈ C^n×n，存在V, J ∈ C^n×n以及非奇異的V和J分塊對角矩陣使得：

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$

而

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

其中

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$

因此可得

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$

因為J是分塊對角矩陣

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

而${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$若尔当方塊矩陣k次方可以得到，針對${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$：

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$

因此，若${\displaystyle \rho (A)<1}$，則針對所有的i，${\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$都會成立。因此針對所有的i，可得：

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$

這也表示

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$

因此

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}$

另一方面，若${\displaystyle \rho (A)>1}$，當k增加時，在J中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。

以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径

定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩陣範數 ||⋅||,，可得

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.}$[2].

令任意ε > 0，先建構以下二個矩陣：

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$

則:

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$

先將之前的定理應用到A₊:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$

這表示，根據級數極限定理，一定存在N₊ ∈ N使得針對所有的k ≥ N₊，下式都成立

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}$

因此

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}}$

將之前的定理用在A₋，表示${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$無界，一定存在N₋ ∈ N使得針對所有的k ≥ N₋，下式都成立

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}}$

因此

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}}$

令N = max{N₊, N₋},，可得：

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon }$

因此，依定義，可得下式

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$